江苏省南通市海安市2021-2022学年高三上学期数学期初学业质量监测试卷

试卷更新日期：2021-09-26 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合M＝{－1，0，1，2}，N＝{x|x²＜2}，则M∩N＝（）

A、{-1，0，1} B、{－1} C、{－1，0，1} D、{－1，0，1，2}

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2. 若复数 $z$ 满足 $z i = 2 - i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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3. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、0° B、45° C、60° D、90°

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4. 从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（）

A、10 B、20 C、540 D、1080

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5. 已知a＝1，b＝2sin1，c＝tan1，则（）

A、a＜b＜c B、a＜c＜b C、c＜a＜b D、c＜b＜a

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6. 已知幂函数f(x)的图象为曲线C ，在命题：①f(x)为偶函数；②曲线C不过原点O；③曲线C在第一象限呈上升趋势；④当x≥1时，f(x)≥1中，只有一个假命题，则该命题是（）

A、① B、② C、③ D、④

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7. 从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{7}}{7}$

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8. 与正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的三条棱AB ， CC₁ ， A₁D₁所在直线的距离相等的点共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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二、多选题

9. 已知a ， b为正数，且a－b＝1，则（）

A、a²＋b²＞1 B、a³－b³＜1 C、2^a＋2^b＞1 D、 $2 \log_{2} a - \log_{2} b < 2$

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10. 袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（）

A、甲与乙互斥 B、乙与丙互斥 C、甲与乙独立 D、甲与乙对立

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11. 已知定义在R上的函数 $f (x) = \cos (ω x) (ω > 0)$ 在区间 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 上是单调增函数，则（）

A、f(|x|)的最小正周期为 $\frac{π}{ω}$ B、f(x)在区间 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上是单调减函数 C、ω的最大值为3 D、 $f (\frac{5 π}{12}) \leq f (\frac{π}{4})$

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12. 设数列{a_n}的首项为1，前n项和为S_n ， ∀n∈N*，a_n＋S_n＝p_k(n)恒成立，其中 $p_{k} (n)$ 表示关于n的k(k∈N)次多项式，则使{a_n}能成等差数列的k的可能值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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三、填空题

13. ${(x - x^{- 1})}^{5}$ 的展开式中，x项的系数是． (用数字填写答案)

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14. 已知函数f(x)满足：f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x＞y时，f(x)＞f(y)，请你写出符合上述条件的一个函数f(x)＝．

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15. 汽车最小转弯半径是指当转向盘转到极限位置，汽车以最低稳定车速转向行驶时，外侧转向轮的中心平面在支承平面上滚过的轨迹圆半径．如图中的BC即是．已知某车在低速前进时，图中A处的轮胎行进方向与AC垂直，B处的轮胎前进方向与BC垂直，轴距AB为2.92米，方向盘转到极限时，轮子方向偏了30°，则该车的最小转弯半径BC为米．

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16. 若点A(－1，0)，B(1，0)，P满足 $| P A | | P B | = \frac{5}{4}$ ，则点P的轨迹C的方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 (x^{2} - y^{2})$ ＝，设M ， N是轨迹C与x轴的两个交点，则△PMN面积的最大值为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ．

(1)、若 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线，求 $B D ： D C$ ；

(2)、若 $A D$ 是边 $B C$ 上的中线，且 $A D = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ，求 $B C$ .

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18. 已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁＝2，b₁＝1，a_n_＋1＝2a_n(n∈N_＋)，b₁＋ $\frac{1}{2}$ b₂＋ $\frac{1}{3}$ b₃＋…＋ $\frac{1}{n}$ b_n＝b_n_＋1－1(n∈N_＋)．

(1)、求a_n与b_n；

(2)、记数列{a_nb_n}的前n项和为T_n ，求T_n.

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19. 在如图所示的多面体中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE ， CD∥EF ， ∠CDF＝∠DFE＝90°，EF＝2CD＝2．

(1)、若DF＝1，证明：平面ACF⊥平面BCE；

(2)、若二面角A－BC－E的正切值为－3，求DF的长．

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20. 有9个外观相同的同规格砝码，其中1个由于生产瑕疵导致质量略有减少，小明想通过托盘天平称量出这个有瑕疵的砝码，设计了如下两种方案：
方案一：每次从待称量的砝码中随机选2个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，则选出的2个砝码是没有瑕疵的；否则，有瑕疵砝的砝码在下降一侧．按此方法，直到找出有瑕疵的砝码为止．

方案二：从待称量的砝码中随机选8个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，则未被选出的那个砝码是有瑕疵的；否则，有瑕疵的砝码在下降一侧，每次再将该侧砝码按个数平分，分别放在天平的左、右托盘上，…，直到找出有瑕疵的砝码为止．

(1)、记方案一的称量次数为随机变量X ，求X的概率分布；

(2)、上述两种方案中，小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小？并说明理由．

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21. 已知函数f(x) $= e^{x - 1}$ ，g(x)＝lnx－1，其中e为自然对数的底数．

(1)、当x＞0时，求证：f(x)≥g(x)＋2；

(2)、是否存在直线与函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知点F₁(－2，0)，F₂(2，0)，点M满足|MF₁|＋|MF₂|＝ $4 \sqrt{2}$ ，记M的轨迹为C．

(1)、求C的方程；

(2)、设l为圆x²＋y²＝4上动点T(横坐标不为0)处的切线，P是l与直线 $y = 2 \sqrt{2}$ 的交点，Q是l与轨迹C的一个交点，且点T在线段PQ上，求证：以PQ为直径的圆过定点．

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