河南省焦作市武陟县2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-09-24 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ﹣ $\frac{4}{3}$ 的相反数是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、﹣ $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、﹣ $\frac{3}{4}$

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2. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，则下面四个平面图形中不是这个几何体的三视图的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，将直线 $C D$ 向上平移到 $A B$ 的位置，若 $∠ 1 = 130 °$ ，则 $∠ D$ 的度数为（）

A、130° B、50° C、45° D、35°

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4.
下图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图．

根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（）

A、甲户比乙户多 B、乙户比甲户多 C、甲、乙两户一样多 D、无法确定哪一户多

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5. 纳米是非常小的长度单位， $1 nm = 10^{- 9} m$ ，把 $1 {nm}^{3}$ 的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上， $1 m^{3}$ 的空间可以放（）个 $1 {nm}^{3}$ 的物体（物体之间的空隙忽略不计）.

A、 $10^{12}$ B、 $10^{- 27}$ C、 $10^{18}$ D、 $10^{27}$

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6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 $P$ （kPa）是气体体积 $V$ （ $m^{3}$ ）的反比例函数，其图象如图所示，当气体体积为 $1 m^{3}$ 时，气压为（）kPa.

A、150 B、120 C、96 D、84

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7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2 x^{2} - b x + c = 0$ ，其中 $b$ ， $c$ 在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、只有一个实数根

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8. 随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（）

A、 $\frac{400}{x - 30} = \frac{500}{x}$ B、 $\frac{400}{x} = \frac{500}{x + 30}$ C、 $\frac{400}{x} = \frac{500}{x - 30}$ D、 $\frac{400}{x + 30} = \frac{500}{x}$

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9. 已知锐角 $∠ A O B$ ，如图，（1）在射线 $O A$ 上取点 $C$ ， $E$ ，分别以点 $O$ 为圆心， $O C$ ， $O E$ 长为半径作弧，交射线 $O B$ 于点 $D$ ， $F$ ；（2）连接 $C F$ ， $D E$ 交于点 $P$ .根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（）

A、 $C E = D F$ B、 $P E = P F$ C、若 $∠ A O B = 60 °$ ，则 $∠ C P D = 120 °$ D、点 $P$ 在 $∠ A O B$ 的平分线上

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10. 如图，在 $△ O A B$ 中， $O A = O B$ ，顶点 $A$ 的坐标为 $(5 ， 0)$ ， $P$ 是 $O A$ 上一动点，将点 $P$ 绕点 $C (0 ， 1)$ 逆时针旋转90°，当点 $P$ 的对应点 $P^{'}$ 落在 $A B$ 边上时，点 $P^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(1 ， 4)$ B、 $(4 ， 1)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 2)$

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二、填空题

11. $| 1 - \sqrt{2} |$ = ．

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12. 写出一个解集为 $x > 2$ 的不等式组：.

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13. 某学校举行“少年心向党”庆祝建党100周年主题教育活动，准备从小明、小庆两名男生和小岩、小红、小慧三名女生中各随机选取一名男生和一名女生担当主持人，则小庆和小红被同时选中的概率是.

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14. 如图，扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 60 °$ ， $O C$ 平分 $∠ A O B$ 交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点 $C$ ，点 $D$ ， $E$ 分别是 $O C$ ， $O B$ 上的动点，若 $O A = 2 \sqrt{3}$ ，当 $B D + D E$ 最小时阴影部分的面积为.

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15. 如图，在边长为 $2 \sqrt{5}$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 的中点，连接 $A E$ ，点 $G$ 是 $A E$ 上一点，且 $∠ E G F = 45 °$ ，则 $A G$ 的长度为.

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $(\frac{3}{a + 2} - 1) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{3 a + 6}$ ，其中 $a = \sqrt{3} + 1$ .

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17. 在中国共产党成立100周年之际，某校组织全体学生参加“党史知识竞赛”，小航对七年级（1）班、八年级（1）班两个班级全体同学的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析.部分信息如下：

a.七年级（1）班，八年级（1）班的频数分布直方图（数据分为5组： $x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100$ ）；

b.七年级（1）班学生成绩在 $80 \leq x < 90$ 这一组的是：

80 80 81 81 81 82 82 82 83

85 85 86 86 88 88 89 90 90

c.七年级（1）班、八年级（1）班学生成绩的平均数、中位数如下：

班级	平均数	中位数
七年级（1）班	80.3	$m$
八年级（1）班	78.2	76

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表中

m

的值为；

(2)、甲同学说：“这次考试没考好，只得了79分”，但班级排名仍属于前50%，请判断甲同学所在班级，并说明理由；

(3)、已知该校八年级有1200人，若80分及以上为“优秀”，请用以上数据估计八年级达到“优秀”的人数；

(4)、乙同学通过班主任了解到本次测试八年级学生中到达优秀的有530人，请你用所学统计知识需要说明实际优秀人数与估计人数出现偏差的原因.

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18. 焦作广播电视塔由塔下裙房、塔身、上塔楼和天线段4部分组成，它集“雄、险、奇、秀”于一身.某校数学社团的同学们借助无人机、卷尺等工具测量电视塔的高度.如图所示，小航在 $M$ 处用无人机在距地面151米的 $B$ 处测得电视塔最高点 $A$ 的仰角为22°，然后沿 $M N$ 方向前进50米到达 $N$ 处，用无人机在距地面70米的 $C$ 处测得点 $A$ 的仰角为45°.求 $O N$ 的距离和电视塔 $O A$ 的高度.（结果精确到1m.参考数据： $\sin 22 ° \approx 0.37$ ， $\cos 22 ° \approx 0.93$ ， $\tan 22 ° \approx 0.40$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

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19. 某新华书店对学校推出租书优惠月活动，活动方案如下：
方案一：不购买会员卡租书，每本收费1元；

方案二：购买会员卡租书，需交会员费12元，租书费每本0.4元；

设学生租书 $x$ （本）按照方案一所需费用为 $y_{1}$ （元），且 $y_{1} = k_{1} x$ ；按照方案二所需费用为 $y_{2}$ （元），且 $y_{2} = k_{2} x + b$ .其函数图象如图所示.

(1)、填空： $k_{1} =$ ， $k_{2} =$ ， $b =$ ；

(2)、两种方案的函数图象交于点 $A$ ，请解释点 $A$ 的实际意义；

(3)、若七（1）班本周准备借阅图书30本，应选择哪种方案所需费用较少？请说明理由.

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20. 如图，等边三角形 $A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $D$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 上一动点，连接 $A D$ ， $B D$ ， $C D$ ，延长 $D C$ 到点 $E$ ，使 $C E = B D$ ，连接 $A E$ .

(1)、求证： $△ A D E$ 是等边三角形；

(2)、填空：
①若 $B D = 1$ ， $C D = 2$ ，则 $A D$ 的长为；

②当 $∠ B A D$ 的度数为时，四边形 $O B D C$ 为菱形.

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21. 如图，抛物线 $y = x^{2} + 2 x + c$ ，与 $x$ 轴的正半轴交于点 $B$ ，与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，且 $O A = 2 O B$ .

(1)、求抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)、将其图象在 $A$ ， $C$ 之间的部分（含 $A$ ， $C$ 两点）记为 $G$ ，若二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + m$ 的图象与 $G$ 只有一个公共点，求 $m$ 的取值范围.

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22. 小航在学习中遇到这样一个问题：

如图，点 $F$ 是线段 $A B$ 上一动点，线段 $A B = 8 cm$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $\overset{⌢}{A B}$ 于 $C$ ，取线段 $C D$ 的中点 $O$ ，连接 $F O$ 并延长交 $\overset{⌢}{A B}$ 于 $E$ ，连接 $A E$ .若 $△ A E F$ 是等腰三角形，求线段 $A F$ 的长度.

小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：

(1)、根据点

F

在线段

A B

上的不同位置，画出相应的图形，测量线段

A F

，

E F

，

A E

的长度，得到下表的几组对应值.

$A F$ /cm	0	1.0	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
$E F$ /cm	6.7	5.6	4.5	3.5	$m$	3.5	4.5	$n$	6.7
$A E$ /cm	6.7	6.5	6.2	5.7	5.0	4.2	3.6	3.2	2.9

填空： $m$ 的值为， $n$ 的值为；

(2)、将线段

A F

的长度作为自变量

x

，

E F

和

A E

的长度都是

x

的函数，分别记为

y_{W}

和

y_{k x}

，并在平面直角坐标系

x O y

中画出了函数

y_{k x}

的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数

y_{w}

的图象；

(3)、继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当

△ A E F

为等腰三角形时，线段

A F

长度的近似值（结果保留一位小数）.

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23. 如图

(1)、问题发现
如图1，在 $△ A B C$ 和 $△ B E D$ 中， $A B = B C$ ， $B E = B D$ ， $∠ A B C = ∠ E B D = 60 °$ .点 $D$ 是 $△ A B C$ 的外角 $∠ A C F$ 的平分线上一点，连接 $A E$ .

填空：① $\frac{A E}{C D}$ 的值是；

②直线 $A E$ 与直线 $C D$ 相交所成的较小角的度数是.

(2)、类比探究
如图2，在 $△ A B C$ 和 $△ E B D$ 中， $∠ A B C = ∠ E B D = 90 °$ . $∠ A C B = ∠ E D B = 60 °$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的外角 $∠ A C F$ 的平分线上一点，连接 $A E$ .请判断 $\frac{A E}{C D}$ 的值及直线 $A E$ 与直线 $C D$ 相交所成的角的度数，并说明理由.

(3)、拓展延伸
在（2）的条件下，若 $A C = 2$ ，请直接写出当 $△ A C D$ 是直角三角形时 $A E$ 的长.

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