江苏省泰州市姜堰区2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-24 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x + y - 1 = 0$ B、 $x + \frac{2}{x} - 1 = 0$ C、 $x^{2} = x + 1$ D、 $x + 1 = 2 x$

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2. 若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）

A、点A在圆外 B、点A在圆上 C、点A在圆内 D、不能确定

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3. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 2 = 0$ 时，原方程可变形为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x + 1)}^{2} = 3$ D、 ${(x - 1)}^{2} = 3$

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4. 一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，若平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（）

A、 $60 (1 + x) = 48.6$ B、 $60 (1 - x) = 48.6$ C、 $60 {(1 + x)}^{2} = 48.6$ D、 $60 {(1 - x)}^{2} = 48.6$

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5. 在下列命题中，正确的是（）

A、弦是直径 B、半圆是弧 C、经过三点确定一个圆 D、三角形的外心一定在三角形的外部

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6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a $<$ 2），BC＝2.以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F.下列哪条线段的长度是方程 $x^{2} + 2 a x - 4 = 0$ 的一个根（）

A、线段AE的长 B、线段BF的长 C、线段BD的长 D、线段DF的长

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二、填空题

7. 方程x²﹣2x=0的解为．

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8. 若 $x = - 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + a x + 2 b = 0$ 的解，则 $2 a - 4 b$ ＝.

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9. 若正六边形的边长为2，则它的外接圆半径是.

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10. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为.

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11. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=cm.

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12. 已知关于x的一元二次方程 ${(x - 5)}^{2} = m + 1$ 有实数根，则m的取值范围是．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，A（5，6），B（5，2），C（3，0），△ABC的外接圆的圆心坐标为.

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14. 如图，△ABC的周长为24cm，AC=8cm，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，则△BMN的周长为cm.

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15. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $2 a x^{2} - (a + 4) x + 2 = 0$ 有一个正整数解，则正整数 $a$ =.

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16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），⊙O半径为3，B为⊙O上任意一点，P是AB的中点，则OP的最小值是.

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三、解答题

17. 解下列方程

(1)、 ${(x - 1)}^{2} = 5$

(2)、 ${(2 x + 1)}^{2} = - 6 x - 3$

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18. 先化简再求值： $(1 - \frac{1}{m - 1}) \div \frac{m^{2} - 4 m + 4}{m - 1}$ ，其中m是方程 $x^{2} - x = 0$ 的根.

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19. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 3 x - m^{2} = 0$ .

(1)、不解方程，判断该方程根的情况；

(2)、设方程的两实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，若 $x_{1} + 2 x_{2} = 2$ ，试求m的值.

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20. 如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD.求证：CE＝BE.

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21. 一根长8m的绳子能否围成一个面积为3m²的矩形？若能，请求出矩形的长和宽；若不能，请说明理由.

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22. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC+AC=14，且BC $>$ AC.

(1)、求BC的长；

(2)、在线段BC上求作一点Q，使得以点Q为圆心，QC为半径的⊙Q刚好与AB相切，请运用尺规作图找出符合条件的点Q，并求出⊙Q的半径.（不写作法，保留作图痕迹）

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23. 一批发市场某服装批发价为240元/件.为拉动消费，该批发市场规定：当批发数量超过10件时，给予降价优惠，但批发价不得低于150元/件.经市场调查发现，优惠时批发价y（元/件）与x（件）之间成一次函数关系，当批发数量为15件时，批发价为210元/件；当批发数量为22件时，批发价为168元/件.

(1)、求批发价y（元/件）与x（件）之间的一次函数表达式；

(2)、在该市场降价优惠期间，某顾客一次性支付了3600元，求该顾客批发了多少件服装？

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24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交⊙O于点F，且∠DFE=∠BAC.

(1)、求证：AB与⊙O相切；

(2)、若∠DFE=30°，CD=2，求弧DE与弦CD、CE围成的阴影部分面积.

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25. 阅读理解：
转化思想是常用的数学思想之一.在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决.如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的.由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.

利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）.解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程.由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验.

例如：解方程 $\sqrt{x^{2} + 12} = 2 x$

解：两边平方得： $x^{2} + 12 = 4 x^{2}$

解得： $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$

经检验， $x_{1} = 2$ 是原方程的根，

$x_{2} = - 2$ 代入原方程中不合理，是原方程的增根.

∴原方程的根是 $x = 2$ .

解决问题：

(1)、填空：已知关于x的方程 $\sqrt{3 x - a} = x$ 有一个根是 $x = 1$ ，那么a的值为；

(2)、求满足 $\sqrt{x + 6} = x$ 的x的值；

(3)、代数式 $\sqrt{x^{2} + 9} + \sqrt{{(8 - x)}^{2} + 9}$ 的值能否等于8 ? 若能，求出 $x$ 的值；若不能，请说明理由.

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26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），点P（t，0）为x轴上一动点（不与原点重合）.以P为圆心，PA为半径的⊙P与x轴正半轴交于点B，连接AB，以AB为直角边在AB的右上方作等腰直角三角形ABC，且∠BAC=90°，直线BC于⊙P的另一个公共点为F，连接PF.

(1)、当t = 2时，点C的坐标为；

(2)、当t >0时，过点C作x轴的垂线l.
①判断当点P运动时，直线l的位置是否发生变化？请说明理由；

②试说明点F到直线l的距离始终等于OP的长；

(3)、请直接写出t为何值时，CF=2BF.

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