江苏省南京市2021-2022学年高三上学期数学9月期初学情调研试卷

试卷更新日期：2021-09-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 9 \leq 0}$ ， $B = {x | 2 x - 4 > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty ， - 3]$ B、 $[- 3 ， + \infty)$ C、 $[- 3 ， 2)$ D、 $(2 ， 3]$

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2. 已知 $\frac{a + i}{2 - i}$ 是纯虚数，其中 $i$ 是虚数单位，则实数 $a =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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3. “ $m = 1$ ”是“直线 $4 x + 3 y + m = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 相切”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为单位向量，且 $(4 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 3 \vec{b}) ，$ 则 $\vec{a} ， \vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{7}{11}$ B、 $- \frac{1}{11}$ C、 $\frac{1}{11}$ D、 $\frac{7}{11}$

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5. 将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有（）

A、24种 B、36种 C、60种 D、72种

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $C$ 相交于 $P ， Q$ 两点， $F_{1} Q$ 与 $y$ 轴的交点为 $R$ ， $F_{1} Q ⊥ P R$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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7. 取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第 $n$ 次操作中去掉的线段长度之和不小于 $\frac{1}{60}$ ，则 $n$ 的最大值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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8. 已知 $a ， b ， c \in (0 ， 1)$ ，且 $a^{2} - 2 \ln a + 1 = e$ ， $b^{2} - 2 \ln b + 2 = e^{2}$ ， $c^{2} - 2 \ln c + 3 = e^{3}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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二、多选题

9. 房地产市场与城市经济发展密切相关，更与百姓的生活密切相关.按照房地产市场经济理论，房屋销售量与房价有密切关系.下图是某城市过去一年中七个楼盘的新房成交均价与成交面积折线图，则下列结论中正确的是（）

A、这七个楼盘中，每个楼盘的成交均价都在[88.8，120.0]内 B、这七个楼盘中，楼盘2的成交总额最大 C、这七个楼盘﹐成交面积的平均值低于200 D、这七个楼盘，成交面积与成交均价呈负相关

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10. 已知 $m$ 、 $n$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 是三个不同的平面.下列说法中正确的是（）

A、若 $m // α$ ， $m \subset β$ ， $a \cap β = n$ ，则 $m // n$ B、若 $m // n$ ， $m // α$ ，则 $n // α$ C、若 $a \cap β = n$ ， $α ⊥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $n ⊥ γ$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $α // γ$ ，则 $β // γ$

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11. 设正实数 $x$ ， $y$ 满足 $2 x + y = 1$ ，则（）

A、 $x y$ 的最大值是 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是9 C、 $4 x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2 x} + \sqrt{y}$ 的最大值为2

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12. 已知 $f (x)$ 是周期为4的奇函数，且当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} x ， 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x ， 1 < x \leq 2 \end{array}$ ，设 $g (x) = f (x) + f (x + 1)$ ，则（）

A、函数 $y = g (x)$ 为周期函数 B、函数 $y = g (x)$ 的最大值为2 C、函数 $y = g (x)$ 在区间 $(7 ， 8)$ 上单调递增 D、函数 $y = g (x)$ 的图象既有对称轴又有对称中心

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三、填空题

13. 将函数 $y = \cos x$ 的图象向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，所得图象与 $y = \sin x$ 的图象重合，则 $φ$ 的一个可能的值为.（写出一个正确答案即可）

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14. 已知 ${(1 + \frac{1}{2} x)}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是7，则 $n =$ ，若 $x^{r}$ 与 $x^{r + 1}$ $(r \in N)$ 的系数相等，则 $r =$ .

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15. 如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于某焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面， $A$ ， $B$ 两点关于抛物线的对称轴对称， $F$ 是抛物线的焦点， $∠ A F B$ 是馈源的方向角，记为 $θ$ ，焦点 $F$ 到顶点的距离 $f$ 与口径 $d$ 的比值 $\frac{f}{d}$ 称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线的焦径比等于 $0.5$ ，那么馈源方向角 $θ$ 的正切值为.

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 和 $△ P B C$ 都是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形， $P A = 3 \sqrt{2}$ .若 $M$ 为三棱锥 $P - A B C$ 外接球上的动点，则点 $M$ 到平面 $A B C$ 距离的最大值为.

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四、解答题

17. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 7 a_{1}$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2} + 2$ ， $a_{3}$ 成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n 为奇数 \\ n ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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18. 请在① $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2$ ；② $\sin B = \frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ；③ $a + b = 5$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $\sin (A - C) + \sin B = \sin A$ ， $c = 2$ ， ▲ ，若该三角形存在，求该三角形的面积；若该三角形不存在，请说明理由.

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19. 科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：

[21 ， 26)

，

[26 ， 31)

，

[31 ， 36)

，

[36 ， 41)

，

[41 ， 46]

（单位：

mm

）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36

mm

及以上的为“大果”.

(1)、请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；

	采用实验方案	未采用实验方案	合计
大果
非大果
合计	100	100	200

(2)、根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径

X

服从正态分布

N (μ ， σ^{2})

，其中

μ

近似为样本平均数

\bar{x}

，

σ \approx 5.5

，请估计对照园中果径落在区间

(39 ， 50)

内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

附：① $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ；

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

②若 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.683$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.954$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.997$ .

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C = 2$ ， $B C = 4$ ， $△ P A C$ 为正三角形， $D$ 为 $A B$ 的中点， $A C ⊥ P D$ ， $∠ P C B = 90 °$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ . $F$ 是椭圆 $C$ 的右焦点，且 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ， $\vec{A F} \cdot \vec{F B} = 3$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、不过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，记直线 $l$ ， $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k$ ， $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k (k_{1} + k_{2}) = 1$ ，证明直线 $l$ 过定点，并求出定点的坐标.

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22. 设函数 $f (x) = (x^{2} - a) e^{x}$ ， $a \in R$ ， $e$ 是自然对数的底数.

(1)、若 $a = 3$ ，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) + x + a \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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