湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上学期数学新起点考试试卷

试卷更新日期：2021-09-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x_{0} \geq 0$ ， $2^{x} + x_{0} - a \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \leq 0$ ， $2^{x} + x - a \leq 0$ B、 $\forall x \geq 0$ ， $2^{x} + x - a > 0$ C、 $\exists x_{1} \leq 0$ ， $2^{x} + x_{0} - a > 0$ D、 $\exists x_{0} \geq 0$ ， $2^{x} + x_{0} - a > 0$

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2. 设集合 $M = {x | x^{2} + a x + 6 = 0}$ ， $N = {- 3 ， - 2 ， - 1}$ ，若 $M \subseteq N$ ，则a的取值范围是（）

A、 ${a ∣ a = 5$ 或 $a = 7)$ B、 ${a ∣ a = 5$ 或 $- 2 \sqrt{6} < a < 2 \sqrt{6}}$ C、 ${a ∣ - 2 \sqrt{6} < a < 2 \sqrt{6}}$ D、 ${a ∣ a = 7$ 或 $- 2 \sqrt{6} < a < 2 \sqrt{6}}$

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3. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a + b = 1$ ，若不等式 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > m$ 恒成立， $m \in N^{*}$ ．则m的最大值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = a^{2 x} - a^{- 2 x} + 1 (a > 0 ， a \neq 1)$ ，则 $f (1) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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5. 已知 $\sin (\frac{π}{3} - \frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $- \frac{7 π}{3} < a < - \frac{4 π}{3}$ ，则 $\cos (\frac{7 π}{12} - \frac{α}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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6. 若 $a = {(2)}^{\frac{2}{3}}$ ， $b = 3^{\frac{2}{3}}$ ， $c = {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}}$ ， $d = {(\frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}}$ ，则a ， b ， c ， a的大小关系是（）

A、 $a > b > c > d$ B、 $b > a > d > c$ C、 $b > a > c > d$ D、 $a > b > d > c$

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7. 已知在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A = S B = S C = A B = 2$ ， $A C ⊥ B C$ ，则该三棱锥外接球的体积为（）

A、 $\frac{32 \sqrt{3} π}{27}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} π}{9}$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、 $\frac{16 π}{3}$

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8. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 a x$ ， $g (x) = 3 a^{2} \ln x - b$ 其中 $a > 0$ ．设两曲伐 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 有公共点，且在该点的切线相同，则（）

A、曲线 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 有两条这样的公共切线 B、 $b = \frac{3 a^{2}}{2} + 3 a^{2} \ln a$ C、当 $a = \frac{3}{e}$ 时，b取最小值 D、 $b$ 的最小值为 $- \frac{1}{6 e^{2}}$

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二、多选题

9. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前4项的和为 $a_{1} + 14$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3} + 1$ ， $a_{4}$ 成等差数列，则 $q$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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10. 已知 $\vec{a} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2)$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $\sqrt{5}$ B、与 $\vec{a}$ 同向的单位向量是 $(\frac{3 \sqrt{10}}{10} ， - \frac{\sqrt{10}}{10})$ C、 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = \frac{π}{4}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $a (a > 0)$ 个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数，则 $a$ 的最小值为 $\frac{5 π}{12}$ D、若 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$

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12. 设函数 $f (x) = (1 + \frac{1}{m}) \ln x - x + \frac{1}{m x} (m \neq 0)$ ，则（）

A、当 $m < 0$ 时， $f (x) < - 1$ B、当 $m < 0$ 时， $f (x)$ 有两个极值点 C、当 $0 < m < 1$ 时， $f (x)$ 任 $(1 ， + \infty)$ 上不单调 D、当 $m > 1$ 时，存在唯一实数m使得函数 $g (x) = f (x) + 2$ 恰有两个零点

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三、填空题

13. 设 $i$ 是虚数单位，若复数 $2 - \frac{a}{2 - i}$ ( $a \in R$ )是纯虚数，则 $a =$ .

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14. 已知 $tan (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{cos 2 α}{1 - sin 2 α} =$ ．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ ，则 $a_{7} =$ ．

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16. 函数 $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x}$ ，关于x的方程 $f^{2} (x) - m f (x) + 1 =$ 0恰有四个不同实数根，则实数m的取值范围为．

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四、解答题

17. 设函数 $f (x) = \sin x$ ， $x \in R$ ．

(1)、已知 $θ \in [0 ， \frac{3 π}{2})$ ，函数 $f (x + θ)$ 是偶函数，求 $θ$ 的值；

(2)、求函数 $y = {[f (x + \frac{π}{12})]}^{2} + {[f (x + \frac{π}{4})]}^{2} - 1$ ， $x \in [\frac{π}{12} ， \frac{2 π}{3}]$ 的值域．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且公差不为0， $a_{3} = 5$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{5}$ 的等比中项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{2 n} \cdot a_{2 n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项之和 $T_{n}$ ．

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19. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\frac{\sin B - \sin A}{b - c} = \frac{\sin C}{a + b}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、当 $a = \sqrt{3}$ 时，求 $\frac{b + c}{2}$ 的取值范围．

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20. 如图，已知矩形 $A B C D$ 所在平面垂直于直角梯形 $A B P E$ 所在平面，且 $A B = B P = 2$ ， $A D = A E = 1$ ， $A E ⊥ A B$ ，且 $A E / / B P .$

(1)、设点M为棱 $P D$ 中点，求证 $E M / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、线段 $P D$ 上是否存在一点N ，使得直线 $B N$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值等 $\frac{2 \sqrt{105}}{35}$ ？若存在，试求出线段 $P N$ 的长度；若不存在，请说明理由．

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21. 北京时间2021年7月23日19：00东京奥运会迎来了开幕式，各国代表队精彩入场，运动员为参加这次盛大的体育赛事积极做准备工作，当地某旅游用品商店经销此次奥运会纪念品，每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交 $a + 5$ 元（ $5 \leq a \leq 8$ ）的税收，预计当每件产品的售价为x元（ $13 \leq x \leq 17$ ）时，一年的销售量为 ${(18 - x)}^{2}$ 件．

(1)、求该商店一年的利润L（万元）与每件品的售价x的函数关系式；

(2)、当每件产品的售价为多少元时，该商店一年的利润L最大，并求出L的最大值 $Q (a)$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} + m x$ ， $g (x) = 3 n \cos x + 3$ $(m ， n \in R)$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x)$ 的单调性

(2)、当 $n = - 1$ 时，不等式 $f (x) + g (x) \geq \frac{1}{4} m x + 1$ 对 $x \geq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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