湖北省新高考九师联盟2021届高三下学期数学2月质检巩固试卷

试卷更新日期：2021-09-24 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x = 2 n - 1 ， n \in Z}$ ， $B = {x | x = 4 n - 1 ， n \in Z}$ ，则（）

A、A⫋ $B$ B、 $B$ ⫋A C、 $A \in B$ D、 $B \in A$

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2. 设复数 $z = 1 + i$ （i是虚数单位），则复数 $\frac{2}{\bar{z}} - {(i z)}^{2}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（）

A、12种 B、14种 C、5种 D、4种

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4. 在 $△ A B C$ 中， $C = 90 °$ ，点D在 $A B$ 上， $\vec{A D} = 3 \vec{D B}$ ， $| \vec{C B} | = 4$ ，则 $\vec{C B} \cdot \vec{C D} =$ （　　）

A、8 B、10 C、12 D、16

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则（）.

A、 $f (- 3) < f (- \log_{3} 13) < f (2^{0.6})$ B、 $f (- 3) < f (2^{0.6}) < f (- \log_{3} 13)$ C、 $f (2^{0.6}) < f (- \log_{3} 13) < f (- 3)$ D、 $f (2^{0.6}) < f (- 3) < f (- \log_{3} 13)$

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6. 甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）

A、甲、乙两人打靶的平均环数相等 B、甲的环数的中位数比乙的大 C、甲的环数的众数比乙的大 D、甲打靶的成绩比乙的更稳定

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7. “ $a > 1$ ”是“ $\exists x \in (1 ， + \infty)$ ， $x - \ln (x - 1) < a$ ”的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $M (x_{0} ， \sqrt{2}) (x_{0} > \frac{p}{2})$ 是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线 $x = \frac{p}{2}$ 交于E，G两点，若 $\sin ∠ M F G = \frac{1}{3}$ ，则抛物线C的方程是（）

A、 $y^{2} = x$ B、 $y^{2} = 2 x$ C、 $y^{2} = 4 x$ D、 $y^{2} = 8 x$

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二、多选题

9. 若 $a > b > 1$ ， $0 < c < 1$ ，则下列表达正确的是（　　）

A、 $\log_{a} c > \log_{b} c$ B、 $\log_{c} a < \log_{c} b$ C、 $a^{c} < b^{c}$ D、 $c^{a} > c^{b}$

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10. 若方程 $\frac{x^{2}}{5 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（）

A、若1＜t＜5，则C为椭圆 B、若t＜1．则C为双曲线 C、若C为双曲线，则焦距为4 D、若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5

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11. 已知函数 $f (x) = \cos x - \sin x$ 在 $[0 ， a]$ 上是减函数，则下列表述正确的是（　　）

A、 $f {(x)}_{m i n} = ﹣ 2$ B、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[- \frac{π}{4} + 2 k π ， \frac{3 π}{4} + 2 k π] (k \in Z)$ ， C、a的最大值是 $\frac{3 π}{4}$ ， D、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$

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12. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为2，侧棱 $A A_{1} = 1$ ， $P$ 为上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（）

A、若 $P D = 3$ ，则满足条件的 $P$ 点有且只有一个 B、若 $P D = \sqrt{3}$ ，则点 $P$ 的轨迹是一段圆弧 C、若 $P D$ ∥平面 $A C B_{1}$ ，则 $D P$ 长的最小值为2 D、若 $P D$ ∥平面 $A C B_{1}$ ，且 $P D = \sqrt{3}$ ，则平面 $B D P$ 截正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球所得平面图形的面积为 $\frac{9 π}{4}$

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三、填空题

13. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前3项和为7，且 $a_{5} = 3 a_{3} + 4 a_{1}$ ，则 $a_{6} =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} + x \ln x$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $x - a y - 1 = 0$ 平行，则实数a= ．

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 3 x + 1 - a ， x > 0 \\ x^{3} + 3 x^{2} - a ， x \leq 0 \end{array}$ 恰有 $3$ 个零点，则 $a$ 的取值范围为．

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16. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $| A B | = 4$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，点 $D$ 为线段 $A B$ 垂直平分线上的一点，且 $| D E | = 3$ ，四边形 $A E D H$ 为矩形，固定边 $A B$ ，在平面 $A B D$ 内移动顶点 $C$ ，使得 $Δ A B C$ 的内切圆始终与 $A B$ 切于线段 $B E$ 的中点，且 $C ， D$ 在直线 $A B$ 的同侧，在移动过程中，当 $| C A | + | C D |$ 取得最小值时，点 $C$ 到直线 $A H$ 的距离为．

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四、解答题

17. 设正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{3} = 21 a_{1}$ ，且 $a_{2 n} = a_{n}^{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{\log_{4} a_{2 n - 1} \cdot \log_{4} a_{2 n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b \sin A + \sqrt{3} a \cos B = \sqrt{3} c$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 4$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $A D$ 的长.

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19. 某公司每五年需淘汰一批旧机器并购买一批新机器，购买新机器的同时，也要购买易损零件．每台新机器随机器购买第一个易损零件花费1500元，优惠0元；每多买一个易损零件都要在原优惠基础上多优惠100元，即购买第一个易损零件没有优惠，第二个易损零件优惠100元，第三个易损零件优惠200元，……，依此类推，每台新机器最多可随新机购买8个易损零件．平时购买易损零件按零售价每个2000元买入．根据以往的记录，十台机器正常工作五年内使用的易损零件数如表：

使用易损零件数

6

7

8

机器台数

3

5

2

以这十台机器使用易损零件数的频率代替一台机器使用易损零件数发生的概率，假设每台机器使用易损零件的个数是相互独立的，记X表示两台机器五年内使用的易损零件数．

(1)、求X的分布列；

(2)、若在购买两台新机器时，每台机器随机器购买7个易损零件，求这两台机器五年内在使用易损零件上所需费用的期望．

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20. 如图，在三棱柱 $A B C ﹣ A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点E，F分别在棱 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 上（均异于端点）， $A B = A C$ ， $∠ A B E = ∠ A C F$ ， $B B_{1} ⊥$ 平面 $A E F$ ．

(1)、求证：四边形 $B E F C$ 是矩形；

(2)、若 $A E = E F = 2$ ， $B E = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $A E F$ 所成锐二面角的余弦值．

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21. 已知椭圆T： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 经过以下四个不同点中的某三个点： $A (1 ， 1)$ ， $B (- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $C (﹣ 1 ， 1)$ ， $D (\frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{21}}{6})$ ．

(1)、求椭圆T的方程；

(2)、将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的坐标分别为 $(0 ， 1)$ ， $(0 ， ﹣ 1)$ ，点F是直线 $y = 2$ 上的一个动点，且直线 $F M$ ， $F N$ 分别交椭圆E于G，H（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线 $G H$ 是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = x - \ln x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、设函数 $g (x) = x f (x)$ ，若存在区间 $[m ， n] \subseteq (\frac{1}{2} ， + \infty)$ ，使得函数 $g (x)$ 在 $[m ， n]$ 上的值域为 $[k (m + 2) - 2 ， k (n + 2) - 2]$ ，求实数k的最大值．

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使用易损零件数	6	7	8
机器台数	3	5	2