河南省顶级名校2021-2022学年高三上学期9月开学联考数学（文）试题

试卷更新日期：2021-09-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A ＝ {x | － 1 < x < 2}$ ， $B ＝ {x | x < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 0}$ ${2}$ B、 ${x ∣ 0 < x < 2}$ C、 ${x ∣ - 2 < x < 0}$ ${1 ， 2}$ D、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$

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2. 已知命题 $p ： \forall x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\sin x < \tan x$ ；命题 $q ： \exists x \in (- \infty ， 0)$ ， $π^{－ x} < e^{－ x}$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land (\neg q)$ C、 $(\neg p) \land q$ D、 $(\neg p) \lor q$

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3. 已知复数 $z = {i+i}^{2021}$ ，则 $| z － 1 |$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、0 D、 $\sqrt{5}$

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4. 三个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt[3]{2}$ D、 $\sqrt[3]{3}$

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5. 已知 $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ 是定义在 $[a - 1 ， 2 a]$ 上的偶函数，那么 $y = f (x)$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{31}{27}$

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6. 对实数 $p$ 、 $q$ 和向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，正确的是（）

A、 $p (\vec{a} - \vec{b}) = p \vec{a} - p \vec{b}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ C、若 ${| \vec{a} |}^{2} \vec{b} = {| \vec{b} |}^{2} \vec{a}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、若 $p \vec{a} = q \vec{a}$ （ $p$ 、 $q \in R$ ），则 $p = q$

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7. 若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} + 3 b_{2} + 7 b_{3} + \dots + (2^{n} － 1) b_{n} ＝ 2 n$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为（）

A、 $b_{n} = 2 n - 1$ B、 $b_{n} = 2^{n} - 1$ C、 $b_{n} = \frac{1}{2^{n} - 1}$ D、 $b_{n} = \frac{2}{2^{n} - 1}$

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8. 一个骰子连续投2次，观察骰子朝上的点数，点数和为 $i (i = 2 ， 3 ， \dots ， 12)$ 的概率记作 $P_{i}$ ，则 $P_{i}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9. 设函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{3}) + \frac{3}{4} (ω \in N *)$ 在 $[\frac{5 π}{12} ， \frac{5 π}{6}]$ 上单调递减，则下列叙述正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 轴对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上的最小值为 $- \frac{5}{4}$ D、 $f (x)$ 关于点 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 对称

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) - \frac{f (x)}{x} > 0$ ，若 $a = 2 f (1)$ ， $b = f (2)$ ， $c = 4 f (\frac{1}{2})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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11. 菜农采摘蔬菜，采摘下来的蔬菜会慢慢失去新鲜度．已知某种蔬菜失去的新鲜度 $h$ 与其采摘后时间 $t$ （小时）满足的函数关系式为 $h = m \cdot a^{t}$ ．若采摘后20小时，这种蔬菜失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种蔬菜失去的新鲜度为40%．那么采摘下来的这种蔬菜在多长时间后失去50%新鲜度（参考数据 $\lg 2 \approx 0 ． 3$ ，结果取整数）（）

A、23小时 B、33小时 C、50小时 D、56小时

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12. 已知过 $P (\frac{3}{4} ， 0)$ 的直线与抛物线 $y^{2} = 3 x (x > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $M$ 为弦 $A B$ 的中点， $O$ 为坐标原点，直线 $O M$ 与抛物线的另一个交点为 $N$ ，则两点 $N$ 、 $M$ 纵坐标的比值范围是（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(3 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 设曲线 $y = \frac{x}{x - 2}$ 在点 $(3 ， 3)$ 处的切线与直线 $a x - y - 1 = 0$ 平行，则 $a$ 等于．

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14. 据《九章算术》记载：将底面钝角为 $\frac{2 π}{3}$ 的菱形的直棱柱对角面斜割一分为二得到的两个一模一样的三棱柱体，古人称之为堑堵．若堑堵的所有棱长都为 $3$ ，则其外接球的表面积为．

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $c = \frac{2 a + b - \sqrt{3} \cdot a \cdot \sin C}{\cos A}$ ，则角 $C$ 的值为．

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16. 已知两点 $F$ 、 $Q$ 分别是焦距为 $4 \sqrt{6}$ 的双曲线C： $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点及左支上一动点，单位圆与 $y$ 轴的交点为 $P$ ，且 $| P Q | + | Q F | + | P F | \geq 13$ ，则双曲线 $C$ 的离心率的最大值为．

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三、解答题

17. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，已知 $a_{2} = 2$ ， $a_{3} + a_{6} = 9$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式及 $T_{n}$ ；

(2)、求数列 ${\frac{1}{T_{n}} + 2^{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：

月份

1

2

3

4

5

违章驾驶人次

125

105

100

90

80

(1)、由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次 $y$ 与月份 $x$ 之间的关系，求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次；

(2)、交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：

不礼让行人

礼让行人

驾龄不超过2年

24

16

驾龄2年以上

26

24

能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会.

附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} > k_{0})$

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

$k_{0}$

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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19. 若函数 $f (x) = a x^{3} － b x + 4$ ，当 $x = 2$ 时，函数 $f (x)$ 有极值 $- \frac{4}{3}$ ．

(1)、求函数的递减区间；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - k = 0$ 有一个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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20. 如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中， $B C / / D E$ ， $B E ⊥ B C$ ， $A B = B C = A C = 2 D E = 2 B E = A D = 2$ .

(1)、证明：平面 $B C D E ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、经过 $A$ ， $D$ 的平面 $α$ 将四棱锥 $A - B C D E$ 分成的左、右两部分的体积之比为 $1 ： 2$ ，求平面 $α$ 截四棱锥 $A - B C D E$ 的截面面积．

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21. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} ＝ 1$ $（ a > b > 0 ）$ 的左、右焦点，椭圆上任意一点 $P$ 到焦点距离的最小值与最大值之比为 $\frac{1}{3}$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于长轴的椭圆 $C$ 的弦长为 $3$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过 $F_{1}$ 的直线与椭圆 $C$ 相交的交点 $A$ 、 $B$ 与右焦点 $F_{2}$ 所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 极坐标方程为 $ρ \sin θ = 4$ ．

(1)、 $M$ 为曲线 $C_{1}$ 上的动点，点 $P$ 在线段 $O M$ 上，且满足 $| O M | \cdot | O P | = 16$ ，求点 $P$ 的轨迹 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知 $F (- 1 ， 0)$ ，过点 $F$ 且倾斜角为 $\frac{π}{6}$ 的直线与 $C_{2}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $| F A | + | F B |$ .

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23. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a^{2} + b^{2} = 2$ ．
证明：

(1)、 $(a + b) (a^{3} + b^{3}) \geq 4$ ；

(2)、 $a^{2} b + b^{2} a \leq 2$ ．

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	不礼让行人	礼让行人
驾龄不超过2年	24	16
驾龄2年以上	26	24

$P (K^{2} > k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

月份	1	2	3	4	5
违章驾驶人次	125	105	100	90	80