河南省大联考2021-2022学年高三上学期文数阶段性测试试卷（一）

试卷更新日期：2021-09-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {1 ， 3 ， 5}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${0}$ C、 ${0 ， 2 ， 4}$ D、 ${0 ， 2 ， 4 ， 5}$

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2. 复数 $z$ 满足 $(2 + i) z = i - 3$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x} ， \geq 0 \\ 2^{x} ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 4)) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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4. 已知 $\cos α = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $\sin (\frac{3 π}{2} + 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 为了研究某班男生的体重 $y$ 与身高 $x$ 的关系，随机调查了该班部分男生的体重与身高数据，根据散点图可以看出 $y$ 与 $x$ 线性相关.当体重单位为“ $kg$ ”，身高单位为“ $m$ ”时，得到的回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，当体重单位为“ $kg$ ”，身高单位为“ $cm$ ”时，得到的回归方程为 $\hat{y} = \hat{d} x + \hat{c}$ .则（）

A、 $\hat{b} = \hat{d}$ ， $\hat{c} = \hat{a}$ B、 $\hat{b} = 100 \hat{d}$ ， $\hat{c} = \hat{a}$ C、 $\hat{b} = \hat{d}$ ， $\hat{c} = 100 \hat{a}$ D、 $\hat{b} = 100 \hat{d}$ ， $\hat{c} = 100 \hat{a}$

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6. 已知命题 $p$ 是“若 $\tan α = 1$ ，则 $α = \frac{π}{4}$ ”的否命题，命题 $q$ 为“ $\exists x \in R$ ， $2^{x} < 0$ ”，则下列命题中，假命题是（）

A、 $p \lor q$ B、 $\neg p \land \neg q$ C、 $p \lor \neg q$ D、 $p \land \neg q$

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7. 已知非常数函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) f (x) = 1$ $(x \in R)$ ，则下列函数中，不是奇函数的为（）

A、 $\frac{f (x) - 1}{f (x) + 1}$ B、 $\frac{f (x) + 1}{f (x) - 1}$ C、 $f (x) - \frac{1}{f (x)}$ D、 $f (x) + \frac{1}{f (x)}$

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8. 如图，圆锥的底面直径 $A B = 2$ ，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦 $A D = \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成的角的余弦值为（）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的最小正周期为 $π$ ，将其图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后对应的函数为偶函数，则 $f (\frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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10. 在直角三角形 $A B C$ 中， $A = \frac{π}{2}$ ， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ，点 $Q$ 在线段 $A B$ 上且 $\vec{A Q} = λ \vec{A B}$ ，点 $P$ 满足 $\vec{C P} = (2 - λ) \vec{C B}$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C Q}$ 的最大值为（）

A、1 B、3 C、4 D、5

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11. 一个三棱锥与一个四棱锥的正视图与侧视图均是如图所示的图形，则三棱锥与四棱锥的体积之比的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12. 抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $A (4 ， \sqrt{6})$ 且平行于 $x$ 轴的直线与线段 $A F$ 的中垂线交于点 $M$ ，若点 $M$ 在抛物线 $C$ 上，则 $| M F | =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ 或 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{5}{2}$ C、1或3 D、2或4

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二、填空题

13. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的离心率为2，则 $m$ 的值为．

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 4 \\ x - y \geq 0 \\ x \leq 4 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a = 3$ ， $c = 7$ ， $A + B = \frac{C}{2}$ ，则 $\sin B =$ .

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16. 已知关于 $x$ 的方程 $| \log_{2} x | = t$ $(t > 0)$ 有两个实根 $m$ ， $n$ $(m > n)$ ，则下列不等式中正确的有.（填写所有正确结论的序号）
① $m^{2} + n^{2} \geq 2 \sqrt{2} (m - n)$ ； ② $m^{2} + n^{2} \leq 2 \sqrt{2} (m - n)$

③ $m^{2} - n^{2} \geq 2 \sqrt{2} (m - n)$ ； ④ $m^{2} - n^{2} \leq 2 \sqrt{2} (m - n)$ .

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三、解答题

17. 某职业培训学校现有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）统计如下表：

专业	机电维修	艺术舞蹈	汽车美容	餐饮	电脑技术	美容美发
招生人数	100	100	300	200	800	500
就业率	100%	70%	90%	80%	50%	80%

（Ⅰ）从该校往年的学生中随机抽取1人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率；

（Ⅱ）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少 $m$ $(0 < m \leq 400)$ ，将“机电维修”专业的招生人数增加 $\frac{m}{3}$ ，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高5个百分点，求 $m$ 的值．

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18. 已知在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ，且当 $n \geq 2$ 时， $a_{n + 1} = 4 (a_{n} - a_{n - 1})$ ．
（Ⅰ）证明： ${a_{n + 1} - 2 a_{n}}$ 是等比数列；

（Ⅱ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} C //$ 平面 $B C_{1} D$ ；

(2)、若 $C_{1} D ⊥ A_{1} B_{1}$ ，且 $C_{1} D = \frac{1}{2} A_{1} B_{1}$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 1$ ，求点 $A$ 到平面 $B C D$ 的距离.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的上顶点 $A$ 与下顶点 $B$ 在直线 $l$ ： $x - 2 y + 1 = 0$ 的两侧，且点 $B$ 到 $l$ 的距离是 $A$ 到 $l$ 的距离的3倍．
（Ⅰ）求 $b$ 的值；

（Ⅱ）设 $C$ 与 $l$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，求证：直线 $B P$ 与 $B Q$ 的斜率之和为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = 4 x^{2} + 2 (1 - 2 a) x - a \ln x$ ， $a \neq 0$ .

(1)、若 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $a$ 的值并说明 $x = 2$ 是极大值点还是极小值点；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的最小整数值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的圆心坐标为 $(2 ， 0)$ ，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点 $M$ 的极坐标为 $(\sqrt{3} ， \frac{π}{6})$ ，且过 $M$ 点只能作一条圆 $C$ 的切线．

(1)、求圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、直线 $θ = α$ （ $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $ρ \in R$ ）和圆 $C$ 相交于两点 $A$ ， $B$ ，若 $\vec{O A} = \vec{A B}$ ，求 $\cos α$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | - | x - a |$ $(a \in R)$ ．
（Ⅰ）若 $a = 1$ ，解不等式 $f (x) < 2$ ；

（Ⅱ）若 $f (x) > - 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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