广东省深圳市罗湖区2022届高三上学期数学第一次质量检测试卷

试卷更新日期：2021-09-24 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 \geq 0} ， B = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、R B、 $[1 ， + x)$ C、 $(- x ， - 1] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $(- x ， - 1] \cup [0 ， + \infty)$

查看试题解析
2. 已知复数 $z = \frac{1}{a} + (2 - a) i$ （i为虚数单位）在复平面内所对应的点在直线 $y = x$ 上，若 $a \in R$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{10}$ D、10

查看试题解析
3. 关于事件 $A ， B$ 的以下结论，其中一定正确的为（）

A、若 $A ， B$ 为对立事件，则 $A ， B$ 可能不是互斥事件 B、若 $A ， B$ 为对立事件，则 $A ， B$ 必为互斥事件 C、若 $A ， B$ 为互斥事件，则 $A ， B$ 必为对立事件 D、若 $A ， B$ 为互斥事件，则 $A ， B$ 不可能为对立事件

查看试题解析
4. 设 $a = \log_{0}_{.3} 3 ， b = {0.3}^{3} ， c = 3^{0}^{.3}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

查看试题解析
5. 若将面积为2的等腰直角三角形，以其一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）

A、 $2 \sqrt{2} π$ B、 $8 π$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

查看试题解析
6. 若 $\tan x = - \frac{1}{2}$ ，则 $\sin 2 x =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

查看试题解析
7. 著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C ，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为 $λ$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{λ^{2} - 1}{λ^{2} + 1}$ B、 $\sqrt{\frac{λ - 1}{λ + 1}}$ C、 $\frac{λ - 1}{λ + 1}$ D、 $\frac{\sqrt{λ} - 1}{\sqrt{λ} + 1}$

查看试题解析
8. 若函数 $f (x) = \sin (φ - 2 x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递减，则实数 $φ$ 的值可以为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列说法正确的为（）

A、当总体是由差异明显的几个部分组成时，通常采用分层抽样 B、若m为数据 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， 2021)$ 的中位数，则 $m = x_{1011}$ C、回归直线可能不经过样本点的中心 $(\bar{x} ， \bar{y})$ D、若随机变量 $ξ \sim N (μ ， σ^{2})$ ，且随机变量 $η = 2 ξ - 1$ ，则 $η ~ N (2 μ - 1 ， 4 σ^{2})$

查看试题解析
10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是 $B C ， C D$ 的中点.则下列结论正确的为（）

A、 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} < 0$ B、 $\frac{| \vec{A B} + \vec{A D} |}{| \vec{C E} - \vec{C F} |} = 2$ C、 $\vec{A E} \cdot \vec{B C} = \vec{A E} \cdot \vec{F C}$ D、 $\vec{A C} = \frac{3}{2} (\vec{A E} + \vec{A F})$

查看试题解析
11. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 1)$ ， $P$ 为直线 $l ： y = x + b$ 上的动点，则下列结论正确的为（）

A、当 $b = 2 r$ 时， $l$ 与 $C$ 可能相交 B、若Q为 $C$ 上的动点，且 $P Q$ 的最小值为r ，则 $| b | = 2 \sqrt{2} r$ C、若 $b = 3 r$ ，则 $C$ 上恰有2个点到l的距离为 $2 r$ D、若 $b = r + \frac{1}{r}$ ，且圆P的半径为 $r - 1$ ，则圆 $P$ 与 $C$ 不可能内切

查看试题解析
12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\forall n \in N^{*}$ ，曲线 $C_{0} ： y = \ln x$ 和 $C_{n} ： y = 1 - \frac{a_{n}}{x^{n}}$ 有交点 $T_{n} (x_{n} ， y_{n})$ ，且 $C_{0}$ 和 $C_{n}$ 在点 $T_{n}$ 处的切线重合，则下列结论正确的为（）

A、 $\forall n \in N^{*} ， x_{n} < e$ B、 $\exists p \in N^{*} ， a_{p} < 1$ C、 $\exists p ， q \in N^{*} ， x_{p} a_{p} = x_{p + q} a_{p + q}$ D、 $\forall n \in N^{*} ， y_{n} \cdot e^{\frac{1}{n}} < 1$

查看试题解析

三、填空题

13. 若函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} + 1}$ 的图象关于原点对称，则 $f (1) =$ .

查看试题解析
14. 已知焦点在x轴上的双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{2 - m^{2}} = 1$ 的两条渐近线互相垂直，则 $m =$ .

查看试题解析
15. 函数 $y = \cos 2 x + | \sin x | (x \in R)$ 的最大值为.

查看试题解析
16. 已知在四面体 $A B C D$ 中， $A B = C D = 2 \sqrt{2} ， A D = A C = B C = B D = \sqrt{5}$ ，则四面体 $A B C D$ 的外接球表面积为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $S_{n} = 2^{n + 1} - a_{1}$ ﹒

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}^{2} + \log_{2} a_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

查看试题解析

18. 某地为了解高三学生运动量是否达标，随机抽取了200名同学进行调查，得到数据如下：在120名男生中，运动量达标的有60人；在80名女生中，运动量未达标的有50人.

(1)、完成下面的列联表，并判断是否有

95 %

的把握认为运动量达标与性别有关.

	运动量达标	运动量未达标	合计
男生人数
女生人数
合计

(2)、以上述数据样本来估计总体，现从该地的所有高三学生（人数众多）中逐一随机抽取3人，记这3人中运动量达标的男生人数为随机变量X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.

参考公式与数据：

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

查看试题解析

19. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，且 $a \sin A - c \sin C = b (\sin A - \sin B)$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $c = 1$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S \in (0 ， \frac{\sqrt{3}}{12})$ ，求 $△ A B C$ 的周长l的取值范围.

查看试题解析
20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C ， P A = P B = P C = A C = 4$ ，O为 $A C$ 中点.

(1)、证明：平面 $P O B ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若点M在棱 $B C$ 上， $B M = \frac{1}{2} M C$ ，且 $A B = B C$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P A M$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
21. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0 ， 1)$ ，设动点 $P (x ， y) (y \geq 0)$ 到 $x$ 轴的距离为 $d$ ，且 $| P A | - d = 1$ ，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程：

(2)、设动直线 $D E$ 与 $C$ 交于 $D$ ， $E$ 两点， $B (2 ， b)$ 为 $C$ 上不同于 $D$ ， $E$ 的点，若直线 $B D$ ， $B E$ 分别与 $y$ 轴相交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = 1$ ，证明：动直线 $D E$ 恒过定点.

查看试题解析
22. 已知定义在R上的函数 $f (x) = x e^{a x} ， a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in (0 ， 4)$ 时，若不等式 $a e^{a^{2} - a x + 1} - x + \frac{1}{a} > 0$ 恒成立，求非零实数a的取值范围.

查看试题解析