广东省广州市天河区2022届高三上学期数学普通高中毕业班综合测试试卷（一）

试卷更新日期：2021-09-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 3 < x < 1}$ ， $B = {x | x \geq 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x < 1}$ B、 ${x | x \geq 0}$ C、 ${x | - 3 < x < 1}$ D、 ${x | x > - 3}$

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2. 已知 $a = \log_{3} 0.2$ ， $b = 3^{0.2}$ ， $c = {0.2}^{3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{3} < 1$ ”是“ $| x - \frac{1}{2} | < \frac{1}{2}$ ”的

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若 $\frac{\sin α}{1 + \cos α} = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin α + \cos α =$ （）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、1 D、 $\frac{19}{25}$

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5. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 15$ ， $a_{3} = 5$ ，则公比 $q$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ 或1 D、 $\frac{1}{2}$ 或1

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6. 下列表述中，正确的个数是（）
①将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；

②设有一个回归方程 $\hat{y} = 3 - 5 x$ ，变量 $x$ 增加1个单位时， $y$ 平均增加5个单位；

③设具有相关关系的两个变量 $x$ ， $y$ 的相关系数为 $r$ ，那么 $| r |$ 越接近于0， $x$ ， $y$ 之间的线性相关程度越高；

④在一个 $2 \times 2$ 列联表中，根据表中数据计算得到 $K^{2}$ 的观测值 $k$ ，若 $k$ 的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大．

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 若关于 $x$ 的不等式 $2 \sin x - x \geq a x$ ，对 $x \in [0 ， π]$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(- \infty ， - \frac{4}{π})$ D、 $(- \infty ， \frac{4}{π}]$

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8. 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，笫二部分为由阿拉伯数字与英文字母组成的序号．其中序号的编码规则为：①由0，1，2，…，9这10个阿拉伯数字与除I，O之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个位置是英文字母，如：粤 $A 326 S 0$ ，则采用5位序号编码的粤A牌照最多能发放的汽车号牌数为（）

A、586万张 B、682万张 C、696万张 D、706万张

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于原点对称，函数 $g (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、对任意 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ C、对任意 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ D、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 既无最小值，也无最大值

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10. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = - \frac{2 π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的零点为 $- \frac{π}{6} + k π (k \in Z)$ C、函数 $f (x)$ 图象的对称轴为直线 $x = \frac{k π}{2} + \frac{7 π}{12} (k \in Z)$ D、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{2 π}{3} ， a]$ 上的值域为 $[- A ， \sqrt{3}]$ ，则实数 $a$ 的取值范围为 $[\frac{13 π}{12} ， \frac{3 π}{2}]$

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11. 在数列 ${a_{n}}$ 中，若 $\sqrt{a_{n}} - \sqrt{a_{n - 1}} = p$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ， $p$ 为常数），则称数列 ${a_{n}}$ 为“开方差数列”，则下列判断正确的是（）

A、 ${3^{2 n}}$ 是开方差数列 B、若 ${a_{n}}$ 是开方差数列，则 ${a_{n}}$ 是等差数列 C、若 ${a_{n}}$ 是开方差数列，则 ${a_{k n}}$ 也是开方差数列（ $k \in N^{*}$ ， $k$ 为常数） D、若 ${a_{n}}$ 既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

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12. 对于△ $A B C$ ，其外心为 $O$ ，重心为 $G$ ，垂心为 $H$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O A} \cdot \vec{O C} = \vec{O B} \cdot \vec{O C}$ B、 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} = \frac{1}{2} {\vec{A B}}^{2}$ C、向量 $\vec{A H}$ 与 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} | \cos B} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} | \cos C}$ 共线 D、过点 $G$ 的直线 $l$ 分别与 $A B$ 、 $A C$ 交于 $E$ 、 $F$ 两点，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = μ \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ} = 3$

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三、填空题

13. 若复数 $z$ 满足 $(3 - 4 i) z = | 4 + 3 i |$ ，则 $z$ 的虚部为.

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14. ${(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2)}^{5}$ 的展开式中，常数项为．（用数字作答）

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15. 过定点 $P (1 ， e)$ 作曲线 $y = a e^{x} (a > 0)$ 的切线，恰有2条，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 复印纸幅面规格采用 $A$ 系列，其幅面规格为：① $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， \dots ， A_{9}$ 所有规格的纸张的幅宽（以 $x$ 表示）和长度（以 $y$ 表示）的比例关系都为 $x ： y = 1 ： \sqrt{2}$ ；②将 $A_{1}$ 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 $A_{2}$ 规格； $A_{2}$ 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 $A_{3}$ 规格； $\dots$ ；如此对开至 $A_{9}$ 规格，现有 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， \dots ， A_{9}$ 纸各一张，若 $A_{5}$ 纸的幅宽为 $2 dm$ ，则 $A_{1}$ 纸的面积为 ${dm}^{2}$ ，这9张纸的面积之和等于 ${dm}^{2}$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} > 0$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $S_{n} = {(\frac{a_{n} + 1}{2})}^{2}$ ．

(1)、求 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ ，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

(2)、求数列 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $A_{1} A D D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形， $A_{1} A = A_{1} D =$ $A D = A C$ ，E为 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $B D_{1} //$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求直线 $A_{1} D$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值.

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19. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且2c－ $\sqrt{3}$ b＝2acos B，a＝ $\sqrt{7}$ ．

(1)、若c＝ $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\sqrt{3}$ b－c的取值范围．

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20. 已知椭圆 $G$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，且过点 $(3 ， 1)$ ．

(1)、求椭圆 $G$ 的方程；

(2)、斜率为l的直线 $l$ 与椭圆 $G$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，以 $A B$ 为底边作等腰三角形，顶点为 $P (- 3 ， 2)$ ，求△ $P A B$ 的面积．

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21. 绿水青山就是金山银山，生态环境日益受大家重视.2021年广州市某公司为了动员职工积极参加植树造林，在3月12日植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满15棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满25棵获得一次乙箱内摸奖机会．每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中 $a$ 个红球、 $b$ 个黄球、5个黑球（ $a ， b \in N^{*}$ ），乙箱内有4个红球和6个黄球．每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．

(1)、经统计，每人的植树棵数 $X$ 服从正态分布 $N (20 ， 25)$ ，现有100位植树者，请估计植树的棵数 $X$ 在区间 $(15 ， 25)$ 内的人数（结果四舍五入取整数）；

(2)、某人植树50棵，有两种摸奖方法：方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大？
附参考数据：若 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ．

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22. 设函数 $f (x) = \ln x - a (x - 1) e^{x}$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $0 < a < \frac{1}{e}$ ，
（ⅰ）证明：函数 $f (x)$ 恰有两个零点；

（ⅱ）设 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的极值点， $x_{1}$ 为函数 $f (x)$ 的零点，且 $x_{1} > x_{0}$ ，证明： $3 x_{0} - x_{1} > 2$ ．

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