广东省2022届高三上学期数学9月阶段性质量检测试卷

试卷更新日期：2021-09-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设命题 $p ： \forall x > 2$ ， $x^{2} < e^{x}$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x > 2$ ， $x^{2} < e^{x}$ B、 $\exists x > 2$ ， $x^{2} \geq e^{x}$ C、 $\forall x > 2$ ， $x^{2} \geq e^{x}$ D、 $\forall x > 2$ ， $x^{2} > e^{x}$

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2. 已知集合 $A = {x | 2^{x} > \frac{1}{4} ， x \in Z}$ ， $B = {a ， 2 a}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则 $a$ 的值可能是（）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{3}} x ， x \geq 3 \\ 2^{x} ， x < 3 \end{array}$ ，则 $f (f (81)) =$ （）

A、16 B、 $- \log_{3} 4$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\log_{3} 4$

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4. 函数 $f (x) = (x^{2} + | x |) \cdot \ln | x |$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + x + c$ ，有下列四个命题：
$p_{1} ： x = - 1$ 是 $f (x)$ 的零点；

$p_{2} ： x = 2$ 是 $f (x)$ 的零点；

$p_{3} ： f (x)$ 的两个零点之和为3；

$p_{4} ： f (x)$ 有两个同号零点.

如果只有一个假命题，则该命题是（）

A、 $p_{1}$ B、 $p_{2}$ C、 $p_{3}$ D、 $p_{4}$

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6. 若函数 $h (x) = \ln x - \frac{1}{2} a x^{2} - 2 x$ 在 $[1 ， 4]$ 上存在单调递减区间，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{7}{16} ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $(- \frac{7}{16} ， + \infty)$

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7. 已知定义域为 $R$ 的函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， 10]$ 上有1和3两个零点，且 $y = f (x + 2)$ 与 $y = f (x + 7)$ 都是偶函数，则函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， 2013]$ 上的零点个数为（）

A、404 B、804 C、806 D、402

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8. 已知 $a ， b ， c \in (0 ， + \infty)$ ，且 $\ln a = a - 1$ ， $b \ln b = 1$ ， $c e^{c} = 1$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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二、多选题

9. 已知 $p$ ：关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - 3 m x + 4 > 0$ 的解集为 $R$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $p$ 的必要不充分条件是 $- 1 \leq m < 2$ B、 $p$ 的充分不必要条件是 $m = \frac{2021}{2020}$ C、 $0 < m < \frac{16}{9}$ 是 $p$ 的充要条件 D、 $| m | \leq 2$ 是 $p$ 的既不充分也不必要条件

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10. 已知函数 $y = 2 a + | \frac{(1 - 2 a) x + 3 + 2 a}{x - 1} |$ （ $a$ 是常数）在 $[2 ， 5]$ 上的最大值是5，则 $a$ 的值可能是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 已知函数 $f (x) = x + \sin x - x \cos x$ 的定义域为 $[- 2 π ， 2 π)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 在 $[0 ， π)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 恰有4个极大值点 D、 $f (x)$ 有且仅有4个极值点

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m x + n (m ， n \in R)$ ，关于 $x$ 的不等式 $x < f (x)$ 的解集为 $(- \infty ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ ，则（）

A、 $m = - 1 ， n = 1$ B、设 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，则 $g (x)$ 的最小值一定为 $g （ 1 ） = 1$ C、不等式 $f (x) < f (f (x))$ 的解集为 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、若 $h (x) = {\begin{matrix} \frac{3}{4} ， x \leq \frac{1}{2} \\ f (x) ， x > \frac{1}{2} \end{matrix}$ ，且 $h (x) < h (2 x + 2)$ ，则x的取值范围是 $(- \frac{3}{4} ， + \infty)$

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三、填空题

13. 已知曲线 $f (x) = x^{3} + b$ 在 $x = a (a > 0)$ 处的切线方程为 $3 x - y + 2 = 0$ ，则 $b =$ .

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14. 若函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - x = 2 f (2 - x)$ ，则 $f (3) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极值为10，则 $f (2)$ 等于．

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16. 已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，函数 $g (x)$ 是 $R$ 上无零点的偶函数，若 $f (π^{0}) = 0$ ，且 $f^{'} (x) g (x) > f (x) g^{'} (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上恒成立，则 $\frac{f (x)}{g (x)} < 0$ 的解集是.

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四、解答题

17. 设 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的数列， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = \sqrt{a_{n}^{2} + 4 a_{n + 1} + 4 a_{n}}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $b_{n} = \frac{n (n + 1)}{S_{n + 1} S_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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18. 某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步篮两个项目.每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步篮考核合格得6分，否则得0分.现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.

(1)、若小明先进行定点投篮考核，记 $X$ 为小明的累计得分，求 $X$ 的分布列；

(2)、为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $3 (b - a \cos C) = 2 c$ .

(1)、求 $\cos A$ ；

(2)、若 $c = 2 b$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $B D = 2 D C$ ， $A D = \sqrt{10}$ ，求 $c$ .

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20. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 是正方形，且顶点 $S$ 到 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的距离相等， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，连接 $S O$ .

(1)、求证： $S O ⊥ C D$ ；

(2)、若 $S A = A B$ ，求平面 $S A B$ 与平面 $S C D$ 所成角的正弦值.

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，双曲线C的右顶点A在圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 2$ 上，且 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = - 2$ .

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、动直线 $l$ 与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M､N，问 $△ O M N (O$ 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

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22. 函数 $f (x) = - x^{2} + a x + \ln x (a \in R)$ .

(1)、试讨论函数 $g (x) = f (x) + \frac{3}{2} x^{2}$ 的极值点的个数；

(2)、若 $f (x) \leq e^{x}$ 在定义域内恒成立，证明：
① $a \leq e + 1$ ；

② $x e^{x} + x^{3} - (e + 1) x^{2} - 2 x + e > 0$ .

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