甘肃省白银市靖远县2021-2022学年高三上学期理数开学考试试卷

试卷更新日期：2021-09-24 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 > 0}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${5}$ B、 ${4 ， 5}$ C、 ${3 ， 4 ， 5}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 下列四个向量中，与向量 $\vec{a} = (- 2 ， 3)$ 共线的是（）

A、 $(3 ， 2)$ B、 $(3 ， - 2)$ C、 $(4 ， - 6)$ D、 $(4 ， 6)$

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3. 2021年7月，中国青年报社社会调查中心通过问卷网，对2047名14~35岁青少年进行的专项调查显示，对于神舟十二号航天员乘组出征太空，98.9%的受访青少年都表示了关注．针对两个问题“关于此次神舟十二号飞行乘组出征太空，你有什么感受（问题1）”和“青少年最关注哪些方面（问题2）”，问卷网统计了这2047名青少年回答的情况，得到如图所示的两个统计图，据此可得到的正确结论为（）

A、对于神舟十二号太空之旅，只有极少的受访青少年关注航天员是怎样选的 B、对于神舟十二号飞行乘组出征太空，超过七成的受访青少年认为开启空间站新时代，“中国速度”令人瞩目 C、对于神舟十二号太空之旅，青少年关注最多的是航天员在太空的工作和生活 D、对于神舟十二号飞行乘组出征太空，超过八成的受访青少年充分感受到我国载人航天事业取得大发展、大进步

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4. 若虚数z满足 $2 i \bar{z} = z^{2}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、0或2

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x$ ，则（）

A、 $f (x + 1)$ 为奇函数， $g (x - 1)$ 为偶函数 B、 $f (x + 1)$ 为奇函数， $g (x + 1)$ 为偶函数 C、 $f (x + \frac{1}{2})$ 为奇函数， $g (x - 1)$ 为偶函数 D、 $f (x + \frac{1}{2})$ 为奇函数， $g (x + 1)$ 为偶函数

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6. $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边．已知 $a = 4$ ， $a b \sin A \sin C = c \sin B$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的面积为（）

A、 $16 π$ B、 $64 π$ C、 $128 π$ D、 $256 π$

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7. 设直线 $l$ 与曲线 $y = x^{3} - \frac{2}{x} + 1$ 相切，则 $l$ 斜率的最小值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、4 C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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8. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）在一个周期内的图象经过 $A (- \frac{5 π}{18} ， 0)$ ， $B (- \frac{π}{9} ， - 1)$ ， $C (\frac{π}{9} ， 0)$ ， $D (\frac{2 π}{9} ， 1)$ 这四个点中的三个点，则 $φ =$ （）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $- \frac{π}{9}$ C、 $- \frac{π}{12}$ D、 $- \frac{π}{18}$

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9. “端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为 $6 cm$ 的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为 $\frac{3}{2} cm$ ，高为 $6 cm$ （不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为 $6 cm$ 的半球的体积，则这两碗馅料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的个数为（参考数据： $\sqrt{2} π \approx 4 ． 44$ ）（）

A、35，20 B、36，20 C、35，21 D、36，21

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10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点P ， Q是C上位于x轴上方的任意两点，且 $P F_{1} // Q F_{2}$ ．若 $| P F_{1} | + | Q F_{2} | \geq b$ ，则C的离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$

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11. 从区间 $(0 ， 3)$ 和 $(1 ， 5)$ 内分别选取一个实数 $x$ ， $y$ ，得到一个实数对 $(x ， y)$ ，称为完成一次试验．若独立重复做3次试验，则 $x < y$ 的次数 $T$ 的数学期望为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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12. 设 $a = \ln \frac{4}{3}$ ． $b = \frac{7}{32}$ ， $c = \frac{1}{2} \ln \frac{15}{8}$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > c > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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二、填空题

13. 若 $\tan a = - 1$ ，则 $\tan (a + \frac{π}{4}) =$ ．

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14. $y^{2} {(x - y)}^{8}$ 的展开式中 $x^{5} y^{5}$ 的系数为．

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15. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ $(m > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是 $C$ 的左、右焦点， $P$ 为 $C$ 右支上一点．若 $| P F_{1} | = m - 1$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为．

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16. 若某几何体为一个棱长为 $2$ 的正方体被过顶点 $P$ 的平面截去一部分后所剩余的部分，且该几何体以图①为俯视图，其正视图和侧视图为图②③④⑤⑥中的两个，则正视图和侧视图的编号依次为（填第一组），（填第二组）．（写出符合要求的两组编号即可）

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三、解答题

17. 甲、乙、丙三台机床同时生产一种零件，在10天中，甲乙机床每天生产的次品数如下表所示：

	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	第6天	第7天	第8天	第9天	第10天
甲	0	1	0	2	2	3	3	1	2	0
乙	2	4	1	1	0	2	1	1	0	1

(1)、分别计算这两组数据的平均数和方差；

(2)、已知丙机床这10天生产次品数的平均数为1.4，方差为1.41．以平均数和方差为依据，若要从这三台机床中淘汰一台，你应该怎么选择？这三台机床你认为哪台性能最好？

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18. 如图，在底面为矩形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $E$ 为棱 $A D$ 上一点， $P E ⊥$ 底面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、若 $A E = 2$ ， $A B = D E = P E = 3$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的大小．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 2 b_{1} = 4$ ，且 ${a_{n}}$ 是公差为1的等差数列， ${a_{n} + b_{n}}$ 是公比为2的等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${| b_{n} |}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = (x - 2 a) \ln x + a$ ．

(1)、从① $a = 3$ ，② $a = - 1$ 这两个条件中选择一个，求 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、若 $a > 0$ ，讨论函数 $y = x f (x)$ 的单调性．
注：若第（1）问选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．

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21. 已知抛物线E的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且直线 $y = x + 1$ 与E相切．

(1)、求E的方程；

(2)、设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A ， B ，直线AB的斜率存在，且直线PA ， PB与y轴分别交于C ， D两点．
①证明： $P A ⊥ P B$ ．

②试问 $\frac{| P C | \cdot | A B |}{| P B | \cdot | C D |}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的方程为 $y = - x + 4 \sqrt{2}$ ．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} \sin θ$ ．

(1)、求圆 $C$ 的直角坐标方程，并指出该圆的半径；

(2)、 $P$ 为直线 $l$ 上一点，若 $| P C | = \sqrt{10}$ ，求点 $P$ 的直角坐标．

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23. 已知函数 $f (x) = | a x + b | + | a x + c |$ ．

(1)、当 $a = b = 1$ ， $c = 0$ 时，求不等式 $f (x) \leq 9$ 的解集；

(2)、若 $f (x) > 2 c$ $(c > 0)$ ，证明： $b < - c$ 或 $b > 3 c$ ．

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