广西玉林市北流重点高中2021-2022学年高二上学期数学开学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-09-24 类型：开学考试

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一、选择题（每小题5分，共12小题60分）

1. 设集合 $M = {1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$ ， $N = {x | 2 x > 7}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${7 ， 9}$ B、 ${5 ， 7 ， 9}$ C、 ${3 ， 5 ， 7 ， 9}$ D、 ${1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$

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2. 三点 $A (2 ， - 3) ， B (4 ， 3) ， C (5 ， \frac{m}{2})$ 在同一条直线上，则m的值为（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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3. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $3 S_{3} = S_{2} + S_{4} ， a_{1} = 2$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、-12 B、12 C、10 D、-10

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4. 已知 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同平面，下列命题中错误的是（）

A、若 $m / / α ， α \cap β = n$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / n ， m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $m ⊥ α ， m ⊥ β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α ， m \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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5. 已知 $x ， y$ 满足条件 ${\begin{array}{l} x - 4 y \leq - 3 ， \\ 3 x + 5 y \leq 25 ， \\ x \geq 1 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最大值是（）

A、10 B、12 C、14 D、16

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6. 以点 $(1 ， - 1)$ 为圆心，且与直线 $x - y + 2 = 0$ 相切的圆的方程为（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8$

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7. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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8. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $14 π$ B、 $19 π$ C、 $\frac{7 π}{2}$ D、 $7 π$

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9. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是表示其前项和，已知 $S_{n} = 48$ ， $S_{2 n} = 60$ ，则 $S_{3 n}$ 等于（）

A、183 B、108 C、75 D、63

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10. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ， b分别为14.10，则输出的 $a =$ （）

A、0 B、2 C、4 D、6

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11. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，P、Q分别为 $B C 、 C D$ 的中点，沿 $A C$ 将三角形 $D A C$ 折起到 $D^{'} A C$ 的位置，则三棱锥 $A - C P Q$ 体积的最大值（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{16}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{24}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{48}$

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12. 已知两定点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，如果动点P满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，点Q是圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 3$ 上的动点，则 $| P Q |$ 的最大值为（）

A、 $5 + \sqrt{3}$ B、 $5 - \sqrt{3}$ C、 $3 + 2 \sqrt{3}$ D、 $3 - 2 \sqrt{3}$

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二、填空题（每小题5分，共4小题20分）

13. $A (5 ， - 5 ， - 6)$ ， $B (10 ， 8 ， 5)$ 两点的距离等于．

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14. 过点 $(0 ， 1)$ 且与直线 $2 x - y + 3 = 0$ 平行的直线方程为．

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15. 若点 $A (- 2 ， - 1)$ 在直线 $m x + n y + 1 = 0$ 上，其中m ， n均大于0，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为．

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16. 已知圆锥的顶点为S，母线 $S A$ ， $S B$ 所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ ， $S A$ 与圆锥底面所成角为45°，若 $△ S A B$ 的面积为 $5 \sqrt{15}$ ，则该圆锥的侧面积为．

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三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共6小题70分）

17. 已知直线 $l$ 过直线 $x + y - 1 = 0$ 和 $2 x - 3 y + 8 = 0$ 的交点P ．

(1)、若直线过点 $Q (0 ， - 1)$ ，求直线 $l$ 的斜率；

(2)、若直线 $l$ 与直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 垂直，求直线 $l$ 的一般式方程．

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18. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $a \cos C + \frac{1}{2} c = b$ ．

(1)、求角A ．

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x - 6$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若对于一切 $x > 1$ ，均有 $f (x) \geq (m + 3) x - m - 10$ 成立，求实数m的取值范围．

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20. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面， $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形， $A B = B C = 2$ ，E ， F分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $B F ⊥ A_{1} B_{1}$ ，

(1)、求三棱锥 $F - E B C$ 的体积：

(2)、已知D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点，证明： $B F ⊥ D E$ ．

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21. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} - a_{n} + 2 a_{n + 1} a_{n} = 0$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2 n + 1}$ ．

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列；

(2)、求 $S_{n}$ ．

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22. 已知一个动点P在圆 $x^{2} + 4 y + y^{2} - 32 = 0$ 上移动，它与定点 $Q (6 ， 0)$ 所连线段的中点为M ．

(1)、求点M的轨迹方程；

(2)、过定点 $(0 ， - 3)$ 的直线 $l$ 与点M的轨迹方程交于不同的两点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ ，且满足 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{21}{2}$ ，求直线l的方程．

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