辽宁省名校联盟2022届高三上学期数学9月联考试卷

试卷更新日期：2021-09-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2^{x} 〉 1} ， B = {x | (x + 2) (x - 1) < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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2. 下列命题中为真命题的是（）

A、 $\exists x \in R ， \frac{1}{2^{x}} \leq 1$ B、对于 $\forall x \in R ， n \in N^{*}$ 且 $n > 1 ，$ 都有 $\sqrt[n]{x^{n}} = x$ C、 $\forall x \in R ， \ln {(x - 1)}^{2} \geq 0$ D、若幂函数 $y = x^{a}$ 的图像与坐标轴没有交点，则 $a < 0$

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3. 欧拉公式 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ (θ \in R)$ 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”，特别是当 $θ = π$ 时，得到一个令人着迷的优美恒等式： $e^{i π} + 1 = 0 ，$ 这个恒等式将数学中五个重要的数：自然对数的底数 $e ，$ 圆周率 $π$ ，虚数单位 $i ，$ 自然数单位 $1$ 和 $0$ 完美地结合在一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式， $e^{i \frac{5 π}{4}}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 在 $△ A B C$ 中，内角所 $A ， B ， C$ 对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a \vec{B A} + (b - 2 c) \vec{B C} + c \vec{A C} = \vec{0} ，$ 则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、钝角三角形

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5. 函数 $f (x) = \frac{\ln | x |}{e^{x} - e^{- x}}$ 的部分图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 对于函数 $y = f (x) ， x \in R$ ，“ $y = | f (x) |$ 的图象关于 $y$ 轴对称”是“ $f (x)$ 是偶函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = 2^{n^{2} - 4 n} ， T_{n} = a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ ，则 $T_{n}$ 的最小值为（）

A、 $2^{- 9}$ B、 $2^{- 10}$ C、 $2^{- 11}$ D、 $2^{- 12}$

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8. 若方程 $x^{2} + a x - e \ln x + e^{2} = 0$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内有 $2$ 个不等实根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- e^{2} - 1 ， 1 - 2 e]$ B、 $(- e^{2} - 1 ， 1 - 2 e)$ C、 $(- \infty ， 1 - 2 e]$ D、 $(- \infty ， 1 - 2 e)$

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二、多选题

9. 设向量 $\vec{a} = (2 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是 $\frac{π}{4}$ C、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ D、与 $\vec{b}$ 同向的单位向量是 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$

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10. 定义在区间 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 的函数 $f (x)$ ，如果对于任意给定的等比数列 ${a_{n}}$ ， ${f (a_{n})}$ 仍是等比数列，则称 $f (x)$ 为“保等比数列函数”.现有定义在区间 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 内的函数： ① $f (x) = x^{2}$ ； ② $f (x) = 2^{x}$ ； ③ $f (x) = \sqrt{| x |}$ ； ④ $f (x) = \ln | x |$ .其中是“保等比数列函数”的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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11. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， a + b^{2} = 1$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $3^{a - b}$ 的最大值为 $3$ B、 $b \sqrt{a}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{a} + b$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b^{2}}$ 的最小值为 $2$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 4 x - 2 ， x \leq 1 \\ ln x + 1 ， x > 1 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 恰有三个不同实数解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则关于 $n$ 的方程 $e^{n - 1} = - \frac{(x_{2} + x_{1})}{4} (- x_{1}^{2} - 4 x_{1}) (x_{3} - 1)$ 的正整数解取值可能是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、填空题

13. 已知复数 $z = a^{2} + 3 a - 4 + (a^{2} - a) i$ 为纯虚数，则实数 $a$ 的值为．

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14. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ，若对任意的正数 $a ， b$ ，满足 $f (a) + f (3 b - 1)$ $= 0$ ，则 $\frac{3}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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15. 对于任意实数序列 $A = (a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n} ， \cdot \cdot \cdot) ， B = (b_{1} ， b_{2} ， b_{3} ， \cdot \cdot \cdot ， b_{n} ， \cdot \cdot \cdot)$ ，定义 $A * B = (a_{1} \cdot b_{1} ， a_{2} \cdot b_{2} ， a_{3} \cdot b_{3} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n} \cdot b_{n} ， \cdot \cdot \cdot)$ 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 满足 $a_{n} = \frac{3}{n} ， b_{n} = a_{n + 3}$ ，若 $A * B$ 中前 $n$ 项的和 $S_{n} = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} \cdot b_{n} < m$ 恒成立，则整数 $m$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + x \ln x - x^{2} - a x$ 满足 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $\vec{m} = (s i n A + s i n B - s i n C ， s i n A)$ ， $\vec{n} = (c ， b + c - a)$ ， $\vec{m} / / \vec{n}$ 且 $b = 2$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、在① $\sqrt{a} ， \sqrt{b} ， \sqrt{c}$ 成等差数列，② $a ， b ， c$ 成等差数列，③ $a^{2} ， b^{2} ， c^{2}$ 成等差数列这三个条件中任选一个作为已知条件，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n + 2} = S_{n} + 2 n + 3 (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = {\begin{array}{l} 2 a_{n} ， n 为奇数 \\ 2^{a_{n}} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (2 - x^{2})$ .

(1)、求不等式 $f (2 x - 1) \leq f (x)$ 的解集；

(2)、若方程 ${[f (x)]}^{2} - m f (x) + n = 0$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 内有 $3$ 个不等实根，求 $2^{2 n + 2} - 5 \cdot 2^{m} + \frac{1}{4}$ 的最小值.

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20. 已知函数 $f (x) = (a + 1) x - \ln x (a ， b \in R)$ .

(1)、若 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) \leq 0$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) \geq b$ 恒成立，求 $b - a^{2} - a$ 的最大值.

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21. 个人所得税起征点是个人所得税工薪所得减除费用标准或免征额，个税起征点与个人税负高低的关系最为直接，因此成为广大工薪阶层关注的焦点.随着我国人民收入的逐步增加，国家税务总局综合考虑人民群众消费支出水平增长等各方面因素，规定从2019年1月1日起，我国实施个税新政.实施的个税新政主要内容包括： ①个税起征点为

5000

元②每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除； ③专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下：

	旧个税税率表(个税起征点3500元)		新个税税率表(个税起征点5000元)
缴税级数	每月应纳税所得额(含税) =收入-个税起征点	税率/%	每月应纳税所得额(含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除	税率/%
1	不超过1500元	3	不超过3000元	3
2	部分超过1500元至4500元部分	10	部分超过3000元至12000元部分	10
3	超过4500元至9000元的部分	20	超过12000元至25000元的部分	20
4	超过9000元至35000元的部分	25	超过25000元至35000元的部分	25
5	超过35000元至55000元部分	30	超过35000元至55000元部分	30
···	···	···	···

随机抽取某市1000名同一收入层级的无亲属关系的男性互联网从业者(以下互联网从业者都是指无亲属关系的男性)的相关资料，经统计分析，预估他们2022年的人均月收入为30000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除，同时他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是 $2 ： 1 ： 1 ： 1$ .此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的互联网从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的互联网从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决下列问题.

(1)、按新个税方案，设该市该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为

X

元，求

X

的分布列和数学期望；

(2)、根据新旧个税方案，估计从2022年1月开始，经过几个月，该市该收入层级的互联网从业者各月少缴的个税之和就能购买一台价值为29400元的华为智慧屏巨幕电视?

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22. 已知 $f (x) = e^{x} ， g (x) = \sin x + \cos x$ .

(1)、若函数 $F (x) = (x - 1) \cdot f (x) - \frac{a x^{2}}{2} ， a > 0$ ，求 $F (x)$ 的单调区间；

(2)、若过点 $(0 ， b)$ 能作函数 $G (x) = \frac{x}{f (x)} (x > 0)$ 的两条切线，求实数 $b$ 的取值范围；

(3)、设 $H (x) = \frac{g (x)}{f (x)} (- \frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4})$ ，且 $H (x_{1}) = H (x_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ ，求证： $0 < x_{1} + x_{2} < \frac{π}{2}$

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