重庆市西北狼教育联盟2021-2022学年高二上学期数学开学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-09-23 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = (2 - i) + t (1 + i)$ （i是虚数单位）是纯虚数，则实数 $t =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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2. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于（）

A、90° B、60° C、120° D、150°

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4. 古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为（）

A、 $\frac{19}{8 π}$ 立方丈 B、 $\frac{19}{12 π}$ 立方丈 C、 $\frac{19 π}{8}$ 立方丈 D、 $\frac{19 π}{12}$ 立方丈

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5. 已知甲､乙两组数据(已按从小到大的顺序排列)：甲组：27，28，39，40，m，50；乙组：24，n，34，43，48，52.若这两组数据的30百分位数､80百分位数分别相等，则 $\frac{m}{n}$ 等于（）

A、 $\frac{12}{7}$ B、 $\frac{10}{7}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{7}{4}$

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6. 袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件 $A =$ “两个球颜色相同”，事件 $B =$ “两个球颜色不同”，事件 $C =$ “第二次摸到红球”，事件 $D =$ “两个球都是红球”.下列说法错误的是（）

A、 $P (A \cup B) = 1$ B、C与D互斥 C、 $D \subseteq C$ D、 $P (B) = P (C) + P (D)$

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，三棱锥 $A - B_{1} C D_{1}$ 的表面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则正方体外接球的体积为（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $\sqrt{6} π$ C、 $32 \sqrt{3} π$ D、 $8 \sqrt{6} π$

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8. $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $b = c ， a^{2} = 2 b^{2} (1 - s i n A)$ ，则A=（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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二、多选题

9. 已知m ， n是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，则（）

A、若 $m // α$ ， $n // α$ ，则 $m // n$ B、若 $m // α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α // β$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m // n$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m // α$ ， $n // β$ ，则 $m ⊥ n$

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10. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业造成了很大影响，为了解A、B两家大型餐饮店受影响的程度，现统计了2020年2月到7月A、B两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根据营业额折线图，下列说法正确的是（）

A、A店营业额的极差比B店营业额的极差小 B、A店2月到7月营业额的75%分位数是45 C、B店2月到7月每月增加的营业额越来越多 D、B店2月到7月的营业额的平均值为29

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11. 以下关于正余弦定理或其变形正确的有（）

A、在 $△ A B C$ 中， $a ： b ： c = \sin A ： \sin B ： \sin C$ B、在 $△ A B C$ 中，若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $a = b$ C、在 $△ A B C$ 中，若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ ，若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ 都成立 D、在 $△ A B C$ 中，三个内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $a = 2 c$ ， $\sin^{2} A + \sin^{2} C - \sin A \sin C - \sin^{2} B = 0$ ，则 $C = \frac{π}{6}$

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12. 已知点O为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{A O} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ B、直线 $A O$ 必过 $B C$ 边的中点 C、 $S_{△ A O B} ： S_{△ A O C} = 3 ： 2$ D、若 $| \vec{O B} | = | \vec{O C} | = 1$ ，且 $\vec{O B} ⊥ \vec{O C}$ ，则 $| \vec{O A} | = \sqrt{13}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ， $\vec{c} = (3, 2)$ ．若向量 $\vec{a}$ 与向量 $k \vec{b} + \vec{c}$ 共线，则实数 $k =$ ．

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14. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，EF ，分别为棱 $C_{1} D_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线 $D E$ 与 $A F$ 所成角的余弦值是.

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15. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a ， b ， c ，当且仅当a＞b ， b＜c时称为“凹数”如213），若 $a ， b ， c \in {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，且a ， b ， c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为．

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16. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 ${(\sin A - \sin C)}^{2} = \sin^{2} B - \sin A \sin C$ 且， $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的取值范围是.

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四、解答题

17. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以 $[160 ， 180)$ ， $[180 ， 200)$ ， $[200 ， 220)$ ， $[220 ， 240)$ ， $[240 ， 260)$ ， $[260 ， 280)$ ， $[280 ， 300]$ 分组的频率分布直方图如图．

(1)、求直方图中x的值；

(2)、求月平均用电量的众数和中位数；

(3)、在月平均用电量为 $[220 ， 240)$ ， $[240 ， 260)$ ， $[260 ， 280)$ ， $[280 ， 300]$ 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在 $[220 ， 240)$ 的用户中应抽取多少户？

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18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.① $\frac{\sin A - \sin C}{b} = \frac{\sin A - \sin B}{a + c}$ ；② $2 c c o s C = a \cos B + b \cos A$ ；③ $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} c (a \sin A + b \sin B - c s i n C)$ .已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A B$ 中点，且 $c = 2$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，求 $a$ ， $b$ .

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19. 三棱锥 $V - A B C$ 中，平面 $V A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Δ V A B$ 为等边三角形， $A C ⊥ B C$ 且 $A C = B C = \sqrt{2}$ ， $O$ 、 $M$ 分别为 $A B$ 、 $V A$ 的中点.

(1)、求证： $V B / /$ 平面 $M O C$ ；

(2)、求证：平面 $M O C ⊥$ 平面 $V A B$ ；

(3)、求三棱锥 $V - A B C$ 的体积.

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20. 西北狼联盟”学校为了让同学们树立自己的学习目标，特进行了“生涯规划”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，乙队中3人答对的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，且各人回答正确与否相互之间没有影响.

(1)、分别求甲队总得分为0分；2分的概率；

(2)、求甲队得2分乙队得1分的概率.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $P D C$ ， $A D ∥ B C$ ， $P D ⊥ P B$ ， $A D = 1$ ， $B C = 3$ ， $C D = 4$ ， $P D = 2$ .
（I）求异面直线 $A P$ 与 $B C$ 所成角的余弦值；

（II）求证： $P D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

（Ⅲ）求直线 $A B$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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22. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a \cos C = c (1 + \cos A)$ .

(1)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{c}{a}$ 的取值范围；

(2)、若 $b = 2$ ，且 $B \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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