四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高二上学期理数试卷

试卷更新日期：2021-09-23 类型：开学考试

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一、单选题

1. 若向量 $\vec{a} = (2 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 计算 $(\cos \frac{π}{12} + \sin \frac{π}{12}) (\cos \frac{π}{12} - \sin \frac{π}{12})$ 值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3.
如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A、20π B、24π C、28π D、32π

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ $(n \geq 2)$ ，则 $a_{11}$ 的值为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 在△ $A B C$ 中， $B C = 2$ ， $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则 $A C$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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6. 已知 $a$ ， $b$ ， $l$ 表示不同的直线， $α$ ， $β$ 表示不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $a / / b$ ， $b \subset α$ ，则 $a // α$ B、若 $α // β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a / / b$ C、若 $l ⊥ a$ ， $l ⊥ b$ ， $a \subset α$ ， $b \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = a$ ， $l \subset α$ ， $l ⊥ a$ ，则 $l ⊥ β$

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = - 5$ ， $a_{11} = 11$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{13}$ 的值为（）

A、42 B、39 C、36 D、33

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8. 已知在四面体 $A B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，△ $A B D$ 是边长为 $3$ 的等边三角形， $B D = C D$ ， $B D ⊥ C D$ ，则四面体 $A B C D$ 的体积为（）

A、 $\frac{27 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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9. 已知关于 $x$ 的不等式 $\frac{m x - 1}{x + 3} > 0$ 的解集为 $(m ， n)$ ，则 $m + n$ 的值为（）

A、-5 B、 $- \frac{10}{3}$ C、-4 D、-5或 $- \frac{10}{3}$

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10. 已知 $\cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{3}$ ， $\frac{17 π}{12} < x < \frac{7 π}{4}$ ，则 $\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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11. 在 $200$ 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 $30^{°}$ 、 $60^{°}$ ，则塔高为（）

A、 $\frac{400}{3}$ 米 B、 $\frac{400 \sqrt{3}}{3}$ 米 C、 $200 \sqrt{3}$ 米 D、 $200$ 米

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12. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = \sqrt{2}$ ．若该三棱锥的四个顶点都在球 $O$ 的表面上，则当三棱锥体积最大时，球 $O$ 的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $6 π$ C、 $8 π$ D、 $9 π$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = \frac{π}{3}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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14. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为．

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15. 若正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} \cdot a_{4} = a_{5}$ ， $a_{3} = 4$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ ， $b - c = 1$ ， $\cos A = - \frac{1}{4}$ ，则 $a$ 的值为．

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三、解答题

17.

(1)、计算 $\frac{\sin 48 ° - \sin 18 ° \cos 30 °}{\cos 18^{°}}$ ；

(2)、已知 $\cos α = \frac{4}{5}$ ， $0 < α < π$ ，求 $\sin (α + \frac{π}{3})$ 的值．

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18. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{5} = 25$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 3 x + b$ ，其中 $a$ ， $b \in R$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 4 ， 1)$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $a < 0$ ，且 $a = b$ 时，求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集．

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20. 在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点，将△ $A E B$ ，△ $D E C$ 分别沿 $E B$ ， $E C$ 折起，使 $A$ ， $D$ 两点重合于点 $P$ ，如图所示．

(1)、求证： $P E ⊥ B C$ ；

(2)、若直线 $E B$ 与平面 $P B C$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，求二面角 $P - B C - E$ 的正弦值．

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21. 已知向量 $\vec{a} = (2 \sin x ， 2 \cos x)$ ， $\vec{b} = (3 \sin x + 4 \cos x ， - \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、已知在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $f (\frac{B}{2} + \frac{π}{4}) = \frac{4 c}{a} + 2$ ，求 $\sin B \cdot \sin C$ 的取值范围.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 2^{n - 1}$ ．

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，证明：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列；

(2)、记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，不等式 $k \cdot 2^{n - 1} - \frac{n}{S_{n}} + \frac{2}{3} \leq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的最大值．

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