江苏省苏州市常熟市2021-2022学年高二上学期数学暑期自主学习调查试卷

试卷更新日期：2021-09-23 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $A = {2 ， 3 ， 5}$ ， $B = {1 ， 3 ， 6}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、{4} B、 $\emptyset$ C、 ${1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 6}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 6}$

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2. 设 $z i = 1 - 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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3. 已知方程 $\ln x = 11 - 2 x$ 的实数解为 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (k ， k + 1)$ ， $k \in N^{*}$ ，则 $k =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$

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5. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为 $O_{1}$ ， $O_{2}$ ，过直线 $O_{1} O_{2}$ 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

A、 $12 \sqrt{2} π$ B、 $1 2π$ C、 $8 \sqrt{2} π$ D、 $10π$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sin \frac{π x}{6} ， x \leq 0 \\ \log_{\frac{1}{3}} x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (9)) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 若命题“ $\forall x \in R$ ， $| x | - 1 + m > 0$ ”是假命题，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1]$

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8. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B_{1} C$ 和 $C_{1} D$ 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线 $B_{1} C$ 和 $C_{1} D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，下列说法中正确的有（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{7}$

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10. 近日，2021中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市名单中，苏州市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间

[0 ， 10]

内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取20位苏州市居民，他们的幸福感指数见下表，则下列说法正确的有（）

A、这组数据的平均数为7 B、这组数据的标准差为

3.6

C、这组数据的众数为8 D、这组数据的第80百分位数是8

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{6} + x) \sin (\frac{π}{3} - x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是周期函数，且最小正周期为 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 成中心对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 成轴对称 D、若不等式 $f (x) \leq f (x_{0})$ 对 $x \in R$ 恒成立，则 $x_{0}$ 的最小正值为 $\frac{π}{12}$

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12. 已知在三棱锥P—ABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5cm，AB＝4cm，AC＝3cm，点O为三棱锥P—ABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法正确的是（）

A、三棱锥P—ABC的体积为10cm³ B、直线BC与平面PAC所成角的正切值为 $\frac{4}{3}$ C、球O的表面积为50πcm² D、OD⊥PA

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x - x^{2}}}{x - 1}$ 的定义域为

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14. 已知 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数，且 $f (x) + f (y) = f (x y)$ 对任意的 $x$ ， $y \in (0 ， + \infty)$ 都成立，写出一个满足以上特征的函数 $f (x) =$ .

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15. 已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (- 1 ， 2)$ ，则 $\tan (θ - \frac{π}{4}) =$ ．

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16. 在平面五边形 $A B C D E$ 中，已知 $B = 120 °$ ， $C = 90 °$ ， $D = 120 °$ ， $A = 90 °$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为；当五边形 $A B C D E$ 的面积 $S \in [2 \sqrt{3} ， 3 \sqrt{3})$ 时， $C D$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x (\sqrt{3} \sin x + \cos x) - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的周期和单调递增区间；

(2)、若 $f (α) = \frac{8}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，求 $\cos 2 α$ 的值.

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18. 4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；

(2)、若采用分层抽样的方法，从样本在［60，80）［80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.

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19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $B B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $B C_{1} //$ 平面 $A_{1} C D$ ；

(2)、若 $A A_{1} = A C = C B = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，证明：平面 $C D E ⊥$ 平面 $A_{1} C D$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = m - \frac{2}{2^{x} + 1}$ 是定义在R上的奇函数，

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、如果对任意 $x \in R$ ，不等式 $f (2 a + \cos^{2} x) + f (4 \sin x - \sqrt{2 a - 1} - 7) < 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $△ P C D$ 是边长为2的等边三角形，四边形 $A B C D$ 是矩形， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，M为BC的中点.

(1)、证明： $A M ⊥ P M$ ；

(2)、求二面角 $P - A M - D$ 的大小.

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22. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 $A B C D$ 内举行机器人拦截挑战赛，在 $E$ 处按 $\vec{E P}$ 方向释放机器人甲，同时在 $A$ 处按 $\vec{A Q}$ 方向释放机器人乙，设机器人乙在 $M$ 处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点 $M$ 在矩形区域 $A B C D$ 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知 $A B = 6$ 米， $E$ 为 $A B$ 中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 $\vec{E P}$ 与 $\vec{E B}$ 的夹角为 $θ$ （ $0 < θ < π$ ）， $\vec{A Q}$ 与 $\vec{A B}$ 的夹角为 $α$ （ $0 < α < \frac{π}{2}$ ）．

(1)、若两机器人运动方向的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $A D$ 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；

(2)、已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的 $2$ 倍．
（i）若 $θ = \frac{π}{3}$ ， $A D$ 足够长，机器人乙挑战成功，求 $\sin α$ ．

（ii）如何设计矩形区域 $A B C D$ 的宽 $A D$ 的长度，才能确保无论 $θ$ 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度 $α$ 使机器人乙挑战成功？

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