湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2021-09-23 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = Z$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {3 ， 4}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${4}$ B、 ${3}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 $\emptyset$

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2. 某校高一年级一名学生一学年以来七次月考物理成绩（满分100分）依次为84，78，82，84，86，89，96，则这名学生七次月考物理成绩的第70百分位数为（）

A、86 B、84 C、96 D、89

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3. 设复数 $z$ 满足 $z \cdot i = - 1 + i$ ，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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4. 若 $x - y > 0$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{x} > {(\frac{1}{2})}^{y}$ B、 $\sqrt{x} > \sqrt{y}$ C、 $| x | > y$ D、 $x > | y |$

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5. 掷两枚质地均匀骰子，设事件 $A =$ “第一枚出现奇数点”，事件 $B =$ “第二枚出现偶数点”则A与B的关系为（）

A、互斥 B、相互独立 C、对立 D、相等

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6. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $M$ 是 $A B$ 的中点， $D M$ 与 $A C$ 交于点 $N$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B N} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

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7. 设m、n是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，且直线 $m \subset α$ ，直线 $n \subset β$ ，则下列说法中正确的序号是（）
①“ $m ⊥ n$ ”是“ $n ⊥ α$ ”的必要不充分条件；②“ $m // n$ ”是“ $m // β$ ”的既不充分也不必要条件

③“ $α // β$ ”是“ $m // n$ ”的充要条件；④“ $m ⊥ n$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的充分不必要条件

A、①④ B、②③ C、②④ D、①②

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8. 在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军。乒乓球决赛采用7局4胜制．在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在 $10 ： 10$ 平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为 $\frac{3}{5}$ ，樊振东发球时马龙得分的概率为 $\frac{1}{3}$ ，各球的结果相互独立，在双方 $10 ： 10$ 平后，马龙先发球，则马龙以 $13 ： 11$ 赢下决胜局的概率为（）

A、 $\frac{4}{25}$ B、 $\frac{2}{25}$ C、 $\frac{8}{75}$ D、 $\frac{2}{75}$

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二、多选题

9. 下列统计量中，能度量样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的离散程度的是（）

A、样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的标准差 B、样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的中位数 C、样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的极差 D、样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数

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10. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \cos x$ B、 $y = x^{2} + | x |$ C、 $y = \log_{2} | x |$ D、 $y = x^{\frac{3}{2}}$

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的周期为 $π$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{4 π}{3} ， 0)$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ 单调递减 D、该图象先向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得 $y = 2 \sin x$ 的图象

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12. 2021年“奔跑吧·少年”孝感市青少年阳光体育系列赛事活动于2021年6月开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为 $\frac{4 π}{3}$ ，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②，则下列结论正确的是（）

A、直线AD与平面 $D E F$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ B、直线 $C F //$ 平面 $A D E$ C、异面直线AD与CF所成的角的余弦值为 $\frac{5}{8}$ D、球上的点离球托底面 $D E F$ 的最大距离为 $\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{3} + 1$

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三、填空题

13. 若 $x > 0$ ，则 $\frac{2}{x^{3}} + x^{3}$ 的最小值为．

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14. 已知向量 $| \vec{a} | = 2 ， \vec{b} = (3 ， - 4)$ ，若 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{22}{3}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $\cos A = \frac{11}{16}$ ， $c = 2 b$ ，则 $\frac{\sin^{2} C - \sin^{2} B}{\sin A \cdot \sin B} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \ln (x^{2} + e^{2})$ （e为自然常数， $e \approx 2.718$ ）， $g (x) = a x^{2} + 2 x + a + 1$ ，若 $\forall x_{1} \in R$ ，总 $\exists x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，则实数a的取值范围为．

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四、解答题

17. 袋子中有5个大小形状质地完全相同的球，其中2个白球（标号为1和2），3个黑球（标号为3、4和5），从中不放回的依次随机摸出2个球，设事件 $A =$ “第一次摸到白球”，事件 $B =$ “第二次摸到黑球”，事件 $C =$ “两个球颜色相同”，事件C的对立事件为 $\bar{C}$

(1)、用集合的形式写出试验的样本空间 $Ω$ ，并求出 $P (\bar{C})$ ．

(2)、求 $P (A \cup B)$ 和 $P (A B)$ ．

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18. 如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设E是 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A C //$ 平面 $B D_{1} E$ ；

(2)、求三棱锥 $E - B C D_{1}$ 的体积．

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19. 2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业。在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组： $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ，…， $[90 ， 100]$ ，得到如下频率分布直方图．

(1)、求出直方图中m的值；

(2)、利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；

(3)、现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个．

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20. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ， $B \in (\frac{π}{2} ， \frac{5 π}{6})$ ， $△ A B C$ 的外接圆半径 $R = 2$ ．

(1)、若 $B = \frac{3 π}{4}$ ，求 $\sin C$ 及边长AB；

(2)、求 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ D A B = 45 °$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A P ⊥ B D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $A B = \sqrt{2}$ ，PB与平面 $A P D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值．

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22. 已知二次函数 $y = f (x)$ 满足以下条件：①经过原点 $(0 ， 0)$ ② $\forall x \in R$ ， $f (x) = f (2 - x)$ ③函数 $y = f (x) + 1$ 只有一个零点

(1)、求二次函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意 $x \in [\frac{1}{2} ， 4]$ ， $3 f (\log_{2} x) + m \leq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围：

(3)、若函数 $g (x) = \frac{f (e^{| x |} - 1) + 2}{e^{| x |} - 1}$ 与 $h (x) = 2 t \cdot (e^{| x |} - 1) + 4 t - 2$ 的图象有两个公共点，求实数t的取值范围．

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