备考2022年中考数学一轮复习（湘教版）专题61 解直角三角形及其应用

试卷更新日期：2021-09-23 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.732）（）

A、136.6米 B、86.7米 C、186.7米 D、86.6米

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2. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）米

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{5}$ C、 $12 \sqrt{5}$ D、24

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3. 如图，D为Rt $△$ ABC的AC边上一点，∠DBC＝∠A，AC＝4，cosA＝ $\frac{4}{5}$ ，则BD＝（）

A、 $\frac{15}{4}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、4

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4. 保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的 $D$ 同一水平线的 $A$ 处，测得 $A D = 20$ 米，沿坡度 $i = 0.75$ 的斜坡 $A B$ 走到 $B$ 点，测得塔顶 $E$ 仰角为37°，再沿水平方向走20米到 $C$ 处，测得塔顶 $E$ 的仰角为22°，则塔高 $D E$ 为（）米．（结果精确到十分位）（ $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 \approx 0.75$ ， $\sin 22 ° \approx 0.37$ ， $\cos 22 ° \approx 0.93$ ， $\tan 22 ° \approx 0.40$ ）

A、18.3米 B、19.3米 C、20米 D、21.2米

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5. 如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（）

A、6米 B、 $6 \sqrt{2}$ 米 C、4米 D、 $4 \sqrt{2}$ 米

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6. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为 $30 m$ ，则这栋楼的高度为（）

A、 $40 \sqrt{2} m$ B、 $30 \sqrt{2} m$ C、 $40 \sqrt{3} m$ D、 $30 \sqrt{3} m$

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二、填空题

7. 如图，海中有一个小岛 $A$ ，一艘轮船由西向东航行，在 $B$ 点测得小岛 $A$ 在北偏东 $60 °$ 方向上；航行 $12 n mile$ 到达 $C$ 点，这时测得小岛 $A$ 在北偏东 $30 °$ 方向上.小岛 $A$ 到航线 $B C$ 的距离是 $n mile$ （ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果用四舍五入法精确到0.1）.

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8. 如图，建筑物 $B C$ 上有一高为 $8 m$ 的旗杆 $A B$ ，从D处观测旗杆顶部A的仰角为 $53 °$ ，观测旗杆底部B的仰角为 $45 °$ ，则建筑物 $B C$ 的高约为 $m$ （结果保留小数点后一位）.（参考数据 $\sin 53 ° \approx 0.80$ ， $\cos 53 ° \approx 0.60$ ， $\tan 53 ° \approx 1.33$ ）

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9. 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头 $C$ 处的高度 $C D$ 为 $238$ 米，点A ， D ， B在同一直线上，则通道AB的长度为米．(结果保留整数，参考数据 $\sin 50 ° \approx 0.77$ ， $\cos 50 ° \approx 0.64$ ， $\tan 50 ° \approx 1.19$ )

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10. 如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为 $30 °$ ，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石顶A点的仰角为 $60 °$ ，那么石碑的高度 $A B$ 的长 $=$ 米.（结果保留根号）

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11. 太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通．如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯 $A B$ 的坡度 $i = 5 ： 12$ （ $i$ 为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端 $A$ 以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端 $B$ ，则王老师上升的铅直高度 $B C$ 为米．

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12. 如图，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为71.6°，且AC平行与地面OP，则古塔BC的高度为米（精确到1米）.
（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.316，tan71.6°≈3）

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三、解答题

13. 我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心.当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角 $∠ D P A$ 为 $30 °$ 且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角 $∠ D P B$ 为 $45 °$ ，求天舟二号从A处到B处的平均速度.（结果精确到 $1 m / s$ ，取 $\sqrt{3} = 1.732 ， \sqrt{2} = 1.414$ ）

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14. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点 $A$ 与佛像 $B D$ 的底部 $D$ 在同一水平线上.已知佛像头部 $B C$ 为 $4 m$ ，在 $A$ 处测得佛像头顶部 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，头底部 $C$ 的仰角为 $37.5 °$ ，求佛像 $B D$ 的高度（结果精确到 $0.1 m$ .参考数据： $\sin 37.5 ° \approx 0.61$ ， $\cos 37.5 ° \approx 0.79$ ， $\tan 37.5 ° \approx 0.77$ ）

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15. 如图，为了测量某建筑物CD的高度，在地面上取A，B两点，使A、B、D三点在同一条直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°，小明同学在点B处测得该建筑物顶部C的仰角为45°，且AB＝10m.求建筑物CD的高度.（拉姆和小明同学的身高忽略不计.结果精确到0.1m， $\sqrt{3}$ ≈1.732）

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16. 如图，一艘轮船离开 $A$ 港沿着东北方向直线航行 $60 \sqrt{2}$ 海里到达 $B$ 处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达 $C$ 处，求 $A C$ 的距离.

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17. 如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高 $A B = 120$ m，楼高 $C D = 99$ m，某天上午9时太阳光线从山顶点 $A$ 处照射到住宅的点 $E$ 外.在点 $A$ 处测得点 $E$ 的俯角 $∠ E A M = 45 °$ ，上午10时太阳光线从山顶点 $A$ 处照射到住宅点 $F$ 处，在点 $A$ 处测得点 $F$ 的俯角 $∠ F A M = 60 °$ ，已知每层楼的高度为3m， $E F = 40$ m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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18. 在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为 $10 °$ ，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为 $27 °$ ．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据： $\sin 10 ° \approx 0.17$ ， $\cos 10 ° \approx 0.98$ ， $\tan 10 ° \approx 0.18$ ， $\sin 27 ° = 0.45$ ， $\cos 27 ° \approx 0 .89$ ， $\tan 27 ° \approx 0.51$ ）

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四、综合题

19. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为 $75 °$ ，测得小区楼房 $B C$ 顶端点C处的俯角为 $45 °$ .已知操控者A和小区楼房 $B C$ 之间的距离为45米，小区楼房 $B C$ 的高度为 $15 \sqrt{3}$ 米.

(1)、求此时无人机的高度；

(2)、在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 $A B$ 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内.参考数据： $\tan 75 ° = 2 + \sqrt{3}$ ， $\tan 15 ° = 2 - \sqrt{3}$ .计算结果保留根号）

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20. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐.一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图.当他由A地出发时，发现他的北偏东 $45 °$ 方向有一信号发射塔P.他由A地沿正东方向骑行 $4 \sqrt{2}$ km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东 $15 °$ 方向，然后他由B地沿北偏东 $75 °$ 方向骑行12km到达C地.

(1)、求A地与信号发射塔P之间的距离；

(2)、求C地与信号发射塔P之间的距离.（计算结果保留根号）

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21. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高 $B C = 80 m$ ，坡面 $A B$ 的坡度 $i = 1 ： 0.7$ （注：从山顶 $B$ 处测得河岸 $E$ 和对岸 $F$ 的俯角分别为 $∠ D B E = 45 °$ ， $∠ D B F = 31 °$ .

（参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60$ ）

(1)、求山脚 $A$ 到河岸 $E$ 的距离；

(2)、若在此处建桥，试求河宽 $E F$ 的长度.（结果精确到 $0.1 m$ ）

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22. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为 $45 °$ ，再从C点出发沿斜坡走 $2 \sqrt{10}$ 米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为 $30 °$ ，若斜坡CF的坡比为 $i = 1 ： 3$ （点 $E ， C ， H$ 在同一水平线上）.

(1)、求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；

(2)、求大树AB的高度（结果保留根号）.

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23. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $A P$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $∠ B A C$ ，且 $A B = A C$ ，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点 $D^{'}$ 的位置，且A，B， $D^{'}$ 三点共线， $A D^{'} = 40 cm$ ，B为 $A D^{'}$ 中点，当 $∠ B A C = 140 °$ 时，伞完全张开.

(1)、求 $A B$ 的长.

(2)、当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离.（参考数据： $\sin 70 ° \approx 094 ， \cos 70 ° \approx 0.34 ， \tan 70 ° \approx 2.75$ ）

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24. 我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿 $A B$ 摆成如图1所示.已知 $A B = 4.8 m$ ，鱼竿尾端A离岸边 $0.4 m$ ，即 $A D = 0.4 m$ .海面与地面 $A D$ 平行且相距 $1.2 m$ ，即 $D H = 1.2 m$ .

(1)、如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 $B C$ 与海面 $H C$ 的夹角 $∠ B C H = 37 °$ ，海面下方的鱼线 $CO$ 与海面 $H C$ 垂直，鱼竿 $A B$ 与地面 $A D$ 的夹角 $∠ B A D = 22 °$ .求点O到岸边 $D H$ 的距离；

(2)、如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 $∠ B A D = 53 °$ ，此时鱼线被拉直，鱼线 $B O = 5.46 m$ ，点O恰好位于海面.求点O到岸边 $D H$ 的距离.（参考数据： $\sin 37 ° = \cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° = \sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\sin 22 ° \approx \frac{3}{8}$ ， $\cos 22 ° \approx \frac{15}{16}$ ， $\tan 22 ° \approx \frac{2}{5}$ ）

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