备考2022年中考数学一轮复习（湘教版）专题58 相似图形和相似三角形的性质、判定、应用

试卷更新日期：2021-09-22 类型：一轮复习

进入出卷网下载

一、单选题

1. 如图，△ABC内接于⊙O ， AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E ，若∠BDC＝45°，BC＝6 $\sqrt{2}$ ，CE＝2DE ，则CE的长为（）

A、2 $\sqrt{6}$ B、4 $\sqrt{2}$ C、3 $\sqrt{5}$ D、4 $\sqrt{3}$

查看试题解析
2. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ C A B = ∠ D A E = 36 °$ ， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ．连接CD ，连接BE并延长交AC ， AD于点F ， G ．若BE恰好平分 $∠ A B C$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $∠ A D C = ∠ A E B$ B、 $C D // A B$ C、 $D E = G E$ D、 $B F^{2} = C F \cdot A C$

查看试题解析
3. 如图，在 $△ A B C$ 中，若 $A D ： A B = 1 ： 2 ， S_{△ A D E} = 3$ ，则 $S_{△ A B C} =$ （）

A、4 B、8 C、9 D、12

查看试题解析
4. 如图，大三角形与小三角形是位似图形．若小三角形一个顶点的坐标为（m ， n），则大三角形中与之对应的顶点坐标为（）

A、（﹣2m ， ﹣2n） B、（2m ， 2n） C、（﹣2n ， ﹣2m） D、（2n ， 2m）

查看试题解析
5. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $P$ 为对角线 $B D$ 上一点，过点 $P$ 作 $P E // A B$ ，交 $A D$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $P F // C D$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，则下列所给的结论中，不一定正确的是（）．

A、 $\frac{P E}{A B} = \frac{P F}{C D}$ B、 $\frac{A E}{D E} = \frac{B F}{C F}$ C、 $\frac{C F}{B C} + \frac{A E}{A D} = 1$ D、 $\frac{P E}{A B} + \frac{P F}{C D} = 1$

查看试题解析
6. 如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F ，则AF：FB等于（）

A、1：2 B、1：3 C、2：3 D、3：4

查看试题解析
7. 如图，已知 $△ A B C$ ．

⑴以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交 $A C$ 于点M ，交 $A B$ 于点N ．

⑵分别以M ， N为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ B A C$ 的内部相交于点P ．

⑶作射线 $A P$ 交 $B C$ 于点D ．

⑷分别以A ， D为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径画弧，两弧相交于G ， H两点．

⑸作直线 $G H$ ，交 $A C$ ， $A B$ 分别于点E ， F ．

依据以上作图，若 $A F = 2$ ， $C E = 3$ ， $B D = \frac{3}{2}$ ，则 $C D$ 的长是（）

A、 $\frac{5}{10}$ B、1 C、 $\frac{9}{4}$ D、4

查看试题解析
8. 如图，把 $△ A B C$ 沿着 $B C$ 的方向平移到 $△ D E F$ 的位置，它们重叠部分的面积是 $△ A B C$ 面积的一半，若 $B C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 移动的距离是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3} - \frac{\sqrt{6}}{2}$

查看试题解析
9. △ABC的边长AB＝2，面积为1，直线PQ $//$ BC，分别交AB、AC于P、Q，设AP＝t，△APQ面积为S，则S关于t的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
10. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC～△AED的是（）

A、∠AED＝∠B B、∠ADE＝∠C C、 $\frac{A D}{A E} = \frac{A C}{A B}$ D、 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$

查看试题解析
11. 如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（）

A、矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差 B、矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差 C、矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差 D、矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差

查看试题解析
12. 如果两个相似多边形的面积之比为1：4，那么它们的周长之比是( ）

A、1：2 B、1：4 C、1：8 D、1：16

查看试题解析
13. 下列结论中，错误的有：（）
①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；

③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
14. 下列说法错误的是（）

A、所有矩形都是相似的 B、若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2 C、若线段AB＝ $\sqrt{5}$ cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ $\frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ cm D、四条长度依次为lcm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段

查看试题解析
15. 如图所示的两个四边形相似，则α的度数是(　　)

A、60° B、75° C、87° D、120°

查看试题解析

二、填空题

16. 如图，已知每个小方格的边长均为1，则 $△ A B C$ 与 $△ C D E$ 的周长比为．

查看试题解析
17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 10$ ，点P是 $A B$ 边的中点，点Q是 $B C$ 边上一动点，若 $△ B P Q$ 与 $△ B A C$ 相似，则 $C Q$ 的长为．

查看试题解析
18. 如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将 $△ C D F$ 沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E ．若 $A E = 5$ ，则GE的长为．

查看试题解析
19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，过点B作 $B D ⊥ C B$ ，垂足为B ，且 $B D = 3$ ，连接CD ，与AB相交于点M ，过点M作 $M N ⊥ C B$ ，垂足为N ．若 $A C = 2$ ，则MN的长为．

查看试题解析
20. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D ， E分别是 $B C ， A C$ 的中点， $A D$ 与 $B E$ 相交于点F ，若 $B F = 6$ ，则 $B E$ 的长是．

查看试题解析
21. 如图，已知 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{S_{△ B O C}}{S_{△ B C D}} =$ ．

查看试题解析
22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ， $A D = 5$ ， $B C = 10$ ，四边形 $E F G H$ 和四边形 $H G N M$ 均为正方形，且点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 、 $N$ 、 $M$ 都在 $△ A B C$ 的边上，那么 $△ A E M$ 与四边形 $B C M E$ 的面积比为．

查看试题解析
23. 如图，在 $△ A B C$ 中，D为BC上一点， $B C = \sqrt{3} A B = 3 B D$ ，则 $A D ： A C$ 的值为.

查看试题解析
24. 已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为.

查看试题解析
25. 如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到光源的距离为20 cm，到屏幕的距离为120 cm，且幻灯片中的图形的高度为8 cm，则屏幕上图形的高度为cm.

查看试题解析

三、作图题

26. 如图，在 $△ A B C$ 中，请用尺规作图法，在 $A B$ 边上找一点 $D$ ，使 $△ A C D ∽ △ A B C$ .（保留作图痕迹，不写作法）

查看试题解析
27. 尺规作图：已知点D为△ABC的边AB的中点，用尺规在△ABC的边AC上找一点E，使 $S_{Δ A D E} ： S_{Δ A B C} = 1 ： 4$ （保留作图痕迹，不写作法）.

查看试题解析
28. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，请用尺规作图法，求作△ADE，使得△ABD∼△ADE，且点D与E对应，点E在AC上.（保留作图痕迹，不写作法）

查看试题解析

四、解答题

29. 清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？
如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少里？

查看试题解析
30. 青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋.一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）.小明在F处竖立了一根标杆 $E F$ ，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离 $D C = 1.6$ 米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离 $M C = 0.8$ 米.已知 $E F = G H = 2.4$ 米， $C F = 2$ 米， $F H = 1.6$ 米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在 $C D$ 上， $C D ⊥ A C$ ， $E F ⊥ A C$ ， $G H ⊥ A C$ ， $A B ⊥ A C$ .根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树 $A B$ 的高度.

查看试题解析
31. 九年级活动小组计划利用所学的知识测量操场旗杆高度.测量方案如下：如图，小卓在小越和旗杆之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小卓看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时看到旗杆顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记点C重合，这时测得小卓眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝1米，然后在阳光下，小越从D点沿DM方向走了15.8米到达F处此时旗杆的影子顶端与小越的影子顶端恰好重合，测得FG＝1.6米，FH＝3.2米，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM若测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息求出旗杆的高AB.

查看试题解析
32. 如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD．

查看试题解析
33. 小刚和小亮想用测量工具和几何知识测量公园古树 $A B$ 的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部 $B$ ，如图，围栏 $C D = 29$ 米，小刚在 $D C$ 延长线 $E$ 点放一平面镜，镜子不动，当小刚走到点 $F$ 时，恰好可以通过镜子看到树顶 $A$ ，这时小刚眼睛 $G$ 与地面的高度 $F G = 1.5$ 米， $E F = 2$ 米， $E C = 1$ 米；同时，小亮在 $C D$ 的延长线上的 $H$ 处安装了测倾器（测倾器的高度忽略不计），测得树顶 $A$ 的仰角 $∠ A H B = 45 °$ ， $D H = 5$ 米，请根据题中提供的相关信息，求出古树 $A B$ 的高度.

查看试题解析

五、综合题

34. 已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC²＝BF•BA，CF与DE相交于点G．

(1)、求证：△BCF∽△DGF；

(2)、求证：DF•AB＝BC•DG；

(3)、当点E为AC中点时，求证：2DF•EG＝AF•DG．

查看试题解析
35. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E ，点F分别在线段AB ， AD上，且∠EFD＝∠BDF ．

(1)、求证：△AFE∽△ADC ．

(2)、若 $\frac{A E}{A C} = \frac{4}{5}$ ， $\frac{A E}{E B} = 2$ ，且∠AFE＝∠C ，探索BE和DF之间的数量关系．

查看试题解析
36. 在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把 $△ A D E$ 沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F ．

(1)、求证： $△ A B F \sim △ F C E$ ；

(2)、若AB＝2 $\sqrt{3}$ ，AD＝4，求EC的长．

查看试题解析
37. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，点E是边 $B C$ 上一点， $A E ⊥ E D$ ．

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ E C D$ ；

(2)、F为 $A E$ 延长线上一点，满足 $E F = E A$ ，连接 $D F$ 交 $B C$ 于点G ．若 $A B = 2 ， B E = 1$ ，求 $G C$ 的长．

查看试题解析
38. 在四边形 ABCD 中，BD 平分∠ABC．

(1)、如图 1，若∠BAD=∠BDC，求证：BD²=AB•BC；

(2)、如图2，∠A>90°，∠BAD+∠BDC=180°，
①若∠ABC=90°，AB= $\frac{15}{4}$ ，BC=8，求BD的长；

②若BC=3CD=3a，BD=9，则 AB 的长为 ▲ ．（用含 a 的代数式表示）．

查看试题解析
39. 如图，圆内接正方形 $A B C D ， E$ 是圆弧 $C D$ 上的一点，连接 $B E$ ，线段 $B E$ 上有一点 $F$ ，连接 $D F ， D E$ ，且 $D E = E F$ ．

(1)、求证： $△ D E C ∽ △ D F B$ ．

(2)、连接 $C F$ ，当四边形 $D E C F$ 是平行四边形时，求 $\frac{B E}{B F}$ 的值．

查看试题解析
40. 方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.

(1)、小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；

(2)、请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.

查看试题解析