备考2022年中考数学一轮复习（湘教版）专题49 直线与圆的位置关系

试卷更新日期：2021-09-22 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，BC是 $⊙ O$ 的切线，若 $∠ B A C = 35 °$ ，则 $∠ A C B$ 的大小为（）

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $55 °$ D、 $65 °$

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2. 如图， $P A$ 、 $P B$ 分别与 $⊙ O$ 相切于 $A$ 、 $B$ ， $∠ P = 70 °$ ， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $110 °$ B、 $120 °$ C、 $125 °$ D、 $130 °$

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3. 若⊙O半径是2，点A在直线l上，且OA=2，则直线l与⊙O的位置关系是（）

A、相切 B、相交 C、相离 D、相切或相交

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4. 如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C ，交AB于点D ．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（）

A、20° B、30° C、40° D、50°

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5. 如图，在 $⊙ O$ 中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若 $∠ A = 25^{\circ}$ ，则 $∠ D$ 的大小为 $($ $)$

A、 $25^{\circ}$ B、 $40^{\circ}$ C、 $50^{\circ}$ D、 $65^{\circ}$

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6. 如图，在△ABC中，∠A＝50°，内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠EDF的度数为（）

A、55° B、60° C、65° D、70°

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二、填空题

7. 如图，等边三角形ABC的边长为4， $⊙ C$ 的半径为 $\sqrt{3}$ ，P为AB边上一动点，过点P作 $⊙ C$ 的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为.

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8. 如图， $P A ， P B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A ， B$ 是切点．若 $∠ P = 50 °$ ，则 $∠ A O B =$ ．

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9. 已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于．

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10. 如图，在圆内接四边形ABCD中， $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 的度数之比为 $2 ： 4 ： 7$ ，则 $∠ D =$ .

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11. 如图， $A B$ ， $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线，B ， C为切点， $B E$ 是 $⊙ O$ 的直径，延长 $B E$ 交 $A C$ 的延长线于点D，连接 $B C$ ．若 $∠ D B C = 25 °$ ，则 $∠ B D C$ 的度数为．

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12. 如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB ， BC ， AC于点E ， F ， D ， P是 $\overset{⌢}{D F}$ 上一点，则∠EPF的度数是．

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三、作图题

13. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，以AD为弦作⊙O，使圆心O在AB上.

(1)、用直尺和圆规在图中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹) ；

(2)、求证：BC为⊙O的切线.

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14. 画出△ABC的三条角平分线．

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15.
如图，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切.
.

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16.
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：如图，△ABC是一块等腰三角形的余料，王师傅要在该余料上面截出一块面积最大的半圆形桌面，请你用尺规作图的方法画出这块半圆形桌面。（在题目的原图中完成作图）

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17. 如图，点P是⊙O上一点，请用尺规过点P作⊙O的切线（不写画法，保留作图痕迹）．

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四、解答题

18. 已知：如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O与AB相切于点C。求证：AC=BC。

小明同学的证明过程如下框：

证明：连结OC

∵OA=OB，∴∠A=∠B

又∵OC=OC，

∴△OAC≌OBC，

∴AC=BC

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程。

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19.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.

(1)、求证：∠A=∠ADE；

(2)、若AD=16，DE=10，求BC的长.

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20. 如图，AM切⊙O于点A，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．求∠B的度数．

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21. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=2∠B，⊙O的切线AP与OC的延长线相交于点P，若PA= $6 \sqrt{3}$ cm，求AC的长．

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22.
如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB延长线上，FE⊥AB，BE=EF=2，FE的延长线交CD延长线于点G，DG=GE=3，连接FD．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：DF是⊙O的切线．

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五、综合题

23. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为：设 $a$ ， $b$ ， $c$ 为三角形三边， $S$ 为面积，则 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ①
这是中国古代数学的瑰宝之一.

而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 $p = \frac{a + b + c}{2}$ （周长的一半），则 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ②

(1)、尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；

(2)、问题探究.经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从① $\Rightarrow$ ②或者② $\Rightarrow$ ① $）$ ；

(3)、问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你证明如下这个公式：如图， $Δ A B C$ 的内切圆半径为 $r$ ，三角形三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，仍记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ， $S$ 为三角形面积，则 $S = p r$ .

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，过点 $O$ 作 $O D ⊥ A B$ ，交 $B C$ 的延长线于 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ， $F$ 是 $D E$ 的中点，连接 $C F$ ．

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $∠ A = 22.5 °$ ，求证： $A C = D C$ .

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25. 如图， $∠ B P D = 120 °$ ，点 $A$ 、 $C$ 分别在射线 $P B$ 、 $P D$ 上， $∠ P A C = 30 °$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、用尺规在图中作一段劣弧，使得它在 $A$ 、 $C$ 两点分别与射线 $P B$ 和 $P D$ 相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；

(2)、根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；

(3)、求所得的劣弧与线段 $P A$ 、 $P C$ 围成的封闭图形的面积．

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26. 如图，在Rt $△ ABC$ 中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙0交AB于点D，过点D作⊙0的切线交BC于点E，连接OE.

(1)、求证： $△ DBE$ 是等腰三角形；

(2)、求证： $△ COE ~ △ CAB$

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27. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．

(1)、求证：CD是⊙O的切线；

(2)、若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．

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