青海海南州高级中学2022届高三理数摸底考试试卷

试卷更新日期：2021-09-22 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合A={x|9-4x²>0}，B={x|x≤0}，则A∩B=（）

A、{x|0<x< $\frac{3}{2}$ } B、{x| $- \frac{3}{2}$ <x≤0} C、{x| $- \frac{9}{4}$ <x< $\frac{3}{2}$ } D、{x| $- \frac{3}{2}$ ≤x≤0}

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2. 已知复数 $z = i (i + 2) + 3$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知向量a，b满足|a|=1，且a与b夹角为 $\frac{π}{2}$ ，则a·(-6a-b)=（）

A、6 B、-6 C、-7 D、7

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4. 已知a=In 0.5，b=5^0.1 ， c=0.6^0.2 ，则a，b，c的大小关系是（）

A、b>c>>a B、a>b>c C、b>a>c D、c>b>a

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5. $2 \sin \frac{π}{12} \sin \frac{5 π}{12} \cos \frac{π}{6} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 设x，x+10，x-5依次是等比数列{an}的前三项，则a_n=（）

A、 $\frac{8}{3} \times {(- \frac{3}{2})}^{n}$ B、-4× ${(- \frac{3}{2})}^{n}$ C、 $\frac{8}{3} \times {(- \frac{3}{2})}^{n-1}$ D、-4× ${(\frac{3}{2})}^{n-1}$

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7. 已知命题p：α是直线x+(m²+1)y-1=0的倾斜角，命题q：cos2α= $- \frac{4}{5}$ ，则命题p是命题q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知函数f(x)=e^x-ax在R上是增函数，则实数a的取值范围为（）

A、(-∞，0) B、(-∞，0] C、(0，+∞) D、[0，+∞)

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9. 执行如图所示的程序框图，输出的 $x$ 的值为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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10. 已知f(x)=sin( $\frac{π}{2}$ +x)cos( $\frac{π}{2}$ -x)-cos²x+3tan $\frac{25 π}{4}$ ，则（）

A、f(x)的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、f(x)的对称轴方程为x= $\frac{3 π}{4}$ +kπ(k∈Z) C、f(x)的单调递增区间为[kπ- $\frac{π}{8}$ ，kπ+ $\frac{3 π}{8}$ ](k∈Z) D、当x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]时，f(x)的值域为[3， $\frac{5 + \sqrt{2}}{2}$ ]

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11. 如图正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面面积为36，△A₁B₁C₁的面积为6 $\sqrt{59}$ ，则三棱锥B-A₁B₁C₁的外接球的表面积为（）

A、68π B、100 $\sqrt{3}$ π C、172π D、10 $\sqrt{6}$ π

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12. 已知实轴长为2 $\sqrt{2}$ 的双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F₁(-2，0)，F₂(2，0)，点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF₁F₂的重心到双曲线C的渐近线的距离为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 下图是某校10个班的一次统考数学成绩平均分，则其平均分的中位数是

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14. 若 ${(x^{2} + \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中x³的系数为160，则a=

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15. 已知等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n ，若 $\frac{a_{8}}{b_{8}} = \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{S_{15}}{T_{15}}$ =

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16. 过抛物线W：x²=8y的焦点F作直线l与抛物线交于A，B两点，则当点A，B到直线x-2y-4=0的距离之和最小时，线段AB的长度为

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三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．．

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3asin Bcos A+ 2bsin A=0．

(1)、求cos A；

(2)、若a= $\sqrt{21}$ ，b²+c²=13，求△ABC的面积．

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18. 如图，在直三棱柱ABC-A，B1Cq中，AC⊥AB，AC=AB=4，AA₁=6，点E，F分别为CA1与AB的中点．

(1)、证明：EF∥平面BCC Br；

(2)、求B₁F与平面AEF所成角的正弦值．

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19. 新高考取消文理科，实行“

3 + 3

”模式，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人，并把调查结果制成下表：

年龄（岁）	$[15 ， 25)$	$[25 ， 35)$	$[35 ， 45)$	$[45 ， 55)$	$[55 ， 65)$	$[65 ， 75)$
频数	5	15	10	10	5	5
了解	4	12	6	5	2	1

(1)、把年龄在

[15 ， 45)

称为中青年，年龄在

[45 ， 75)

称为中老年，请根据上表完成

2 \times 2

列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？

	了解新高考	不了解新高考	总计
中青年
中老年
总计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

(2)、若从年龄在

[55 ， 65)

的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为

X

，求

X

的分布列以及

E (X)

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20. 已知函数f(x)=ax3-3ln x．

(1)、若a=1，证明：f(x)≥1；

(2)、讨论f(x)的单调性．

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21. 已知椭圆气 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1(a>b>0)的左．右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过点F₁的直线在y轴上的截距为1，且与椭圆交于M，N两点，F₂到直线MN的距离为 $\sqrt{2}$ ，椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若点P的坐标为(0，m)， $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ ≤ $\frac{43}{7}$ m- $\frac{87}{7}$ ，求△PMN面积的最大值．

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四、选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ²-2 $\sqrt{2}$ ρsin(θ+ $\frac{π}{4}$ )=0．

(1)、求圆C的直角坐标方程；

(2)、若直线l的参数方程是 ${\begin{cases} x = 4 + t \\ y = k t \end{cases}$ (t为参数)，直线l与圆C相切，求k的值．

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五、选修4-5：不等式选讲

23. 已知函数f(x)=|x-1|，函数g(x)=m-|x|．

(1)、当m=3时，求不等式f(x)≤g(x)的解集；

(2)、若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求实数m的取值范围．

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