备考2022年中考数学一轮复习（湘教版）专题39 三角形，等腰三角形，线段的垂直平分线

试卷更新日期：2021-09-22 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 如图，已知直线AB和AB上的一点C ，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：
第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；

第二步：分别以点D和点E为圆心，以 $a$ 为半径作弧，两弧交于点F；

第三步：作直线CF ，直线CF即为所求．

下列关于 $a$ 的说法正确的是（）

A、 $a$ ≥ $\frac{1}{2} D E$ B、 $a$ ≤ $\frac{1}{2} D E$ C、 $a > \frac{1}{2} D E$ D、 $a < \frac{1}{2} D E$

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2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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3. 如图，在△ABC中，AC＞BC，分别以点A，B为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连接BN，下列结论正确的是（）

A、AN＝NC B、AN＝BN C、MN＝ $\frac{1}{2}$ BC D、BN平分∠ABC

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4. 如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（）

A、10.5 B、12 C、15 D、18

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5. 如图，已知线段 $A B = 6$ ，利用尺规作 $A B$ 的垂直平分线，步骤如下：①分别以点 $A ， B$ 为圆心，以 $b$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $C$ 和 $D$ .②作直线 $C D$ .直线 $C D$ 就是线段 $A B$ 的垂直平分线.则 $b$ 的长可能是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B \neq A C$ ．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D ，使 $△ A C D$ 为等腰三角形．下列作法错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A、1，2.5，3.5 B、4，6，10 C、20，11，8 D、5，8，12

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8. 下例图形中，具有稳定性的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（）

A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形

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10. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定

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二、填空题

11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E ，连结BD ．若 $C D = 1$ ，则AD的长为．

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12. 如图，已知线段 $A B$ 长为4.现按照以下步骤作图：①分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径画弧，两弧分别相交于点 $E$ ， $F$ ；②过 $E$ ， $F$ 两点作直线，与线段 $A B$ 相交于点 $O$ .则 $A O$ 的长为.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ C = 70 °$ ，分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则 $∠ B D C =$ $°$ .

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14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC.分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF.以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH.若BC＝3，则△AFH的周长为 .

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15. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是.

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16. 在等腰△ABC 中，AD⊥BC 交直线 BC 于点 D.若 AD=0.5BC，则△ABC 的顶角的度数为

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三、解答题

17. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
求证：AD=BC．

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18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．

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19. 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE=CD．
求证：∠B=∠E．

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20. 求证：等腰三角形的两个底角相等
（请根据图用符号表示已知和求证，并写出证明过程）
已知：
求证：
证明：

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21.
在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．

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22.
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DC=AB．

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23.
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．

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四、综合题

24.

(1)、如图，已知 $△ A B C ， P$ 为边 $A B$ 上一点，请用尺规作图的方法在边 $A C$ 上求作一点 $E$ ．使 $A E + E P = A C$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、在上图中，如果 $A C = 6 cm ， A P = 3 cm$ ，则 $△ A P E$ 的周长是 $cm$ ．

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25. 《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 $A$ 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 $B$ ，使 $B ， A$ 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点 $B$ 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 $B$ 处的杆的影子的方向取一点 $C$ ，使 $C ， B$ 两点间的距离为10步，在点 $C$ 处立一根杆．取 $C A$ 的中点 $D$ ，那么直线 $D B$ 表示的方向为东西方向．

(1)、上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 $A ， B ， C$ 的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作 $C A$ 的中点 $D$ （保留作图痕迹）；

(2)、在如图中，确定了直线 $D B$ 表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 $C A$ 表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在 $△ A B C$ 中， $B A =$ ▲ ， $D$ 是 $C A$ 的中点，

$∴ C A ⊥ D B$ ▲ （填推理的依据）．

∵直线 $D B$ 表示的方向为东西方向，

∴直线 $C A$ 表示的方向为南北方向．

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26. 如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点M、N同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动.

(1)、若点M的运动速度是2cm/s，点N的运动速度是4cm/s，当N到达点C时，M、N两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t=2时，判断△BMN的形状，并说明理由；

(2)、当它们的速度都是2cm/s，当点M到达点B时，M、N两点停止运动，设点M的运动时间为t（s），则当t为何值时，△MBN是直角三角形？

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27. 问题：如图，在△ABD中，BA=BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA=EC。若∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数。
答案：∠DAC=45°。

思考：

(1)、如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由。

(2)、如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数。

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28. 已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F.

(1)、求证：BD＝CD：

(2)、如果AB²＝AO·AD，求证：四边形ABDC是菱形.

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29. 如图，在△ABC中，AC<AB<BC.

(1)、已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B.

(2)、以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q.连接AQ若∠AQC=3∠B，求∠B的度数.

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30. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作 $∠ B A C$ 的平分线 $A M$ 交 $B C$ 于点 $D$ ；
②作边 $A B$ 的垂直平分线 $E F$ ， $E F$ 与 $A M$ 相交于点 $P$ ；
③连接 $P B$ ， $P C$ .
请你观察图形解答下列问题：

(1)、线段 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 之间的数量关系是；

(2)、若 $∠ A B C = 70^{\circ}$ ，求 $∠ B P C$ 的度数.

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31. 数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 110^{\circ}$ ，求 $∠ B$ 的度数.（答案： $35^{\circ}$ ）
例2 等腰三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 40^{\circ}$ ，求 $∠ B$ 的度数.（答案： $40^{\circ}$ 或 $70^{\circ}$ 或 $100^{\circ}$ ）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式等腰三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 80^{\circ}$ ，求 $∠ B$ 的度数.

(1)、请你解答以上的变式题.

(2)、解（1）后，小敏发现， $∠ A$ 的度数不同，得到 $∠ B$ 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形 $A B C$ 中，设 $∠ A = x^{\circ}$ ，当 $∠ B$ 有三个不同的度数时，请你探索 $x$ 的取值范围.

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32. 数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数。（答案：35°）
例2：等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数。（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数

(1)、请你解答以上的表式题。

(2)、解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同。如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x⁰ ，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围。

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33. 如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．

(1)、判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；

(2)、求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．

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34. 如图，在△ABC中，∠A＞∠B．

(1)、作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

(2)、在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度数．

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