备考2022年中考数学一轮复习（湘教版）专题34 二次函数的应用

试卷更新日期：2021-09-22 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + c$ 与直线 $y = k x + m$ 交于 $A (- 3 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ 两点，则关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + c \geq - k x + m$ 的解集是（）

A、 $x \leq - 3$ 或 $x \geq 1$ B、 $x \leq - 1$ 或 $x \geq 3$ C、 $- 3 \leq x \leq 1$ D、 $- 1 \leq x \leq 3$

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2. 将二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线 $y = x + b$ 与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）

A、 $- \frac{21}{4}$ 或 $- 3$ B、 $- \frac{13}{4}$ 或 $- 3$ C、 $\frac{21}{4}$ 或 $- 3$ D、 $\frac{13}{4}$ 或 $- 3$

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3. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + 1$ 的图象与一次函数 $y = 2 a x + b$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数.若二次函数y＝x²+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（）

A、c＜ $\frac{1}{4}$ B、0＜c＜ $\frac{1}{4}$ C、﹣1＜c＜ $\frac{1}{4}$ D、﹣1＜c＜0

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5. 对于一个函数自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数 $y = x^{2} - 6 x + m (m \neq 0)$ 有两个不相等的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，关于x的方程 $- x^{2} + 6 x - m - 2 = 0$ 有两个不相等的非零实数根 $x_{3}$ 和 $x_{4}$ $(x_{3} < x_{4})$ ，则下列式子一定正确的是（）

A、 $0 < \frac{x_{1}}{x_{3}} < 1$ B、 $\frac{x_{1}}{x_{3}} > 1$ C、 $0 < \frac{x_{2}}{x_{4}} < 1$ D、 $\frac{x_{2}}{x_{4}} > 1$

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6. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $(- 1 ， 0)$ 与 $(3 ， 0)$ 两点，关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c + m = 0 (m > 0)$ 有两个根，其中一个根是5．则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c + n = 0 (0 < n < m)$ 有两个整数根，这两个整数根是（）

A、-2或4 B、-2或0 C、0或4 D、-2或5

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7. 如图，矩形 $O A B C$ 中， $A (- 3 ， 0)$ ， $C (0 ， 2)$ ，抛物线 $y = - 2 {(x - m)}^{2} - m + 1$ 的顶点 $M$ 在矩形 $O A B C$ 内部或其边上，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 3 \leq m \leq 0$ B、 $- 3 \leq m \leq - 1$ C、 $- 1 \leq m \leq 2$ D、 $- 1 \leq m \leq 0$

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8. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + m x$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，若关于 $x$ 的一元二次方程 $- x^{2} + m x - t = 0$ （ $t$ 为实数）在 $1 \leq x \leq 3$ 的范围内有解，则 $t$ 的取值错误的是（）

A、 $t = 2.5$ B、 $t = 3$ C、 $t = 3.5$ D、 $t = 4$

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9. 如图，抛物线y＝ax²﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A ， B ．与y轴交于点C ．连接AC、BC ．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H ．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（）

A、h＞ $\frac{5}{2}$ B、0＜h≤ $\frac{5}{2}$ C、h＞2 D、0＜h＜2

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10. 某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（）人

A、56 B、55 C、54 D、53

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二、填空题

11. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度 $y$ （单位： $m$ ）与它距离喷头的水平距离 $x$ （单位： $m$ ）之间满足函数关系式 $y = - 2 x^{2} + 4 x + 1$ ，喷出水珠的最大高度是 $m$ .

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12. 以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t².现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v₁ ，经过时间t₁落回地面，运动过程中小球的最大高度为h₁（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v₂ ，经过时间t₂落回地面，运动过程中小球的最大高度为h₂（如图2）.若h₁＝2h₂ ，则t₁：t₂＝.

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13. 某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是元.

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14. 已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ （ $a \neq 0$ ）对称轴上的一个动点。小明经探究发现：当 $\frac{b}{a}$ 的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定。若抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ （ $a \neq 0$ ）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 $\frac{b}{a}$ 的值是

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15. 如图，点A（0，1），平行于x轴的直线AC分别交抛物线 $y_{1} = x^{2} (x \geq 0)$ 与 $y_{2} = \frac{1}{4} x^{2}$ （x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交 $y_{1}$ 于点D ，直线DE∥AC ，交 $y_{2}$ 于点E ，则DE＝．

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16. 如图，直线 $y = k x + b$ 与抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 交于点 $A ， B$ ，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式 $- x^{2} + 2 x + 3 > k x + b$ 的解集为．

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三、解答题

17. 端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，解答小慧和小杰提出的问题．（价格取正整数）

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18.
如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A—C—B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm²)，y关于x的函数图象由C₁ ， C₂两段组成，如图2所示.

(1)、求a的值；

(2)、求图2中图象C₂段的函数表达式；

(3)、当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围.

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19.
甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分. 如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式 $y=a （ x-4 ）^{2} +h$ ，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度1.55m.

(1)、当a=− $\frac{1}{24}$ 时，①求h的值.②通过计算判断此球能否过网.

(2)、若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为 $\frac{12}{5}$ m的Q处时，乙扣球成功，求a的值.

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20. 某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件，根据市场调研，若每件降价1元，则每天销售数量比原来多3件．现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）．在促销期间，商场要想每天获得最大销售毛利润，每件应降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差）

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21.
某商场在1月至12月份经销某种品牌的服装，由于受到时令的影响，该种服装的销售情况如下：销售价格y₁（元/件）与销售月份x（月）的关系大致满足如图的函数，销售成本y₂（元/件）与销售月份x（月）满足y₂= ，月销售量y₃（件）与销售月份x（月）满足y₃=10x+20．
（1）根据图象求出销售价格y₁（元/件）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（6≤x≤12且x为整数）
（2）求出该服装月销售利润W（元）与月份x（月）之间的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大？最大利润是多少？（6≤x≤12且x为整数）

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22. 某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人．设提价后的门票价格为x（元/人）（x＞20），日接待游客的人数为y（人）．
（1）求y与x（x＞20）的函数关系式；
（2）已知景点每日的接待成本为z（元），z与y满足函数关系式：z=100+10y．求z与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？（利润=门票收入﹣接待成本）

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四、综合题

23. 如图①，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $B C = 14$ ， $A D = 8$ ， $B D = 6$ 点 $E$ 是 $A D$ 上一动点（不与点 $A$ ， $D$ 重合），在 $△ A D C$ 内作矩形 $E F G H$ ，点 $F$ 在 $D C$ 上，点 $G$ ， $H$ 在 $A C$ 上，设 $D E = x$ ，连接 $B E$ .

(1)、当矩形 $E F G H$ 是正方形时，直接写出 $E F$ 的长；

(2)、设 $△ A B E$ 的面积为 $S_{1}$ ，矩形 $E F G H$ 的面积为 $S_{2}$ ，令 $y = \frac{S_{1}}{S_{2}}$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式（不要求写出自变量 $x$ 的取值范围）；

(3)、如图②，点 $P (a ， b)$ 是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点 $P$ 的直线 $l$ 分别与 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ O M N$ 面积的最小值，并说明理由.

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24. 为增加农民收入，助力乡村振兴.某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示.

(1)、根据图象信息，求y与x的函数关系式；

(2)、求五一期间销售草莓获得的最大利润.

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25. 为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元.张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物.考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩）之间满足一次函数关系，且当 $x = 160$ 时， $y = 840$ ；当 $x = 190$ 时， $y = 960$ .

(1)、求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

(2)、受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩.若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）

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26. 如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系.

(1)、求桥拱项部O离水面的距离.

(2)、如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值.

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27. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克.为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施.批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克.

(1)、写出工厂每天的利润 $W$ 元与降价 $x$ 元之间的函数关系.当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？

(2)、当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？

(3)、若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？

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28. 某商贸公司购进某种商品的成本为20元/ $kg$ ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/ $kg$ ）与时间x（天）之间的函数关系式为： $y = {\begin{array}{l} 0.25 x + 30 (1 \leq x \leq 20) \\ 35 (20 < x \leq 40) \end{array}$ 且x为整数，且日销量 $m (kg)$ 与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

时间x（天）

1

3

6

10

…

日销量 $m (kg)$

142

138

132

124

…

填空：

(1)、m与x的函数关系为；

(2)、哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

(3)、在实际销售的前20天中，公司决定每销售 $1kg$ 商品就捐赠n元利润（ $n < 4$ ）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围.

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29. 已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 8$ 与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C.

(1)、求点B、C的坐标；

(2)、设点 $C^{'}$ 与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使 $△ P C C^{'}$ 与 $△ P O B$ 相似且 $P C$ 与 $P O$ 是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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时间x（天）	1	3	6	10	…
日销量 $m (kg)$	142	138	132	124	…