备考2022年中考数学一轮复习（湘教版）专题30 反比例函数及其图像与性质

试卷更新日期：2021-09-22 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与正比例函数 $y = a x (a \neq 0)$ 的图象相交于 $A ， B$ 两点，若点 $A$ 的坐标是 $(1 ， 2)$ ，则点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(- 1 ， - 2)$ D、 $(2 ， 1)$

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2. 一次函数 $y = x + n$ 的图象与x轴交于点B，与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图象交于点 $A (1 ， m)$ ，且 $△ A O B$ 的面积为1，则m的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数 $y = \frac{x}{a + x}$ （a为常数且 $a > 0 ， x > 0$ ）的性质表述中，正确的是（）
①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③ $0 < y < 1$ ；④ $0 \leq y \leq 1$

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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4. 一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b (k_{1} \neq 0)$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 的图象交于点 $A (- 1 ， - 2)$ ，点 $B (2 ， 1)$ ．当 $y_{1} < y_{2}$ 时，x的取值范围是（）

A、 $x < - 1$ B、 $- 1 < x < 0$ 或 $x > 2$ C、 $0 < x < 2$ D、 $0 < x < 2$ 或 $x < - 1$

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5. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 都在反比例函数 $y = - \frac{1}{x}$ 的图象上，且 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} + y_{2} = 0$ D、 $y_{1} - y_{2} = 0$

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6. 如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在 $△$ OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）图象上，则k的值（）

A、﹣12 B、﹣15 C、﹣20 D、﹣30

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7. 已知双曲线 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 过点(3， $y_{1}$ )、(1， $y_{2}$ )、(-2， $y_{3}$ )，则下列结论正确的是（）

A、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ D、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$

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8. 如图，点A在曲线到 $y_{1} = \frac{2}{x} (x > 0)$ 上，点B在双曲线 $y_{2} = \frac{k}{x} (x < 0)$ 上， $A B // x$ 轴，点C是x轴上一点，连接 $A C$ 、 $B C$ ，若 $△ A B C$ 的面积是6，则k的值（）

A、-6 B、-8 C、-10 D、-12

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9. 在反比例函数 $y = \frac{k^{2} + 1}{x}$ （ $k$ 为常数）上有三点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (x_{3} ， y_{3})$ ，若 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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10. 若点 $A (- 3 ， y_{1})$ ， $B (- 1 ， y_{2})$ ， $C (2 ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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二、填空题

11. 请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：.

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12. 在反比例函数y＝ $\frac{m - 3}{x}$ 的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 .

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13. 如图，矩形 $A B O C$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，矩形 $A B O C$ 的面积为3，则 $k =$ ；

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14. 如图，点 $A (- 2 ， 2)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且 $O M = O N = 5$ .点 $P (x ， y)$ 是线段 $M N$ 上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接 $O A$ 、 $O P$ .当 $S_{△ O A D} < S_{△ O P E}$ 时，x的取值范围是.

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15. 如图，点A、B在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则 $k$ =.

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16. 若 $A (1 ， y_{1})$ ， $B (3 ， y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{2 m - 1}{x} (m < \frac{1}{2})$ 图象上的两点，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的大小关系是 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“>”、“=”或“<”）

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17. 已知点 $A (1 ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ 为反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 图象上的两点，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是 $y_{1}$ $y_{2}$ .（填“>”“=”或“<”）

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18. 若点 $A (1 ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ 在反比例函 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“>“<”或“=”）.

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19. 点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{1} + 1 ， y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上的两点，满足：当 $x_{1} > 0$ 时，均有 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $k$ 的取值范围是.

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20. 已知点 $A (a ， y_{1})$ ， $B (a + 1 ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{m^{2} + 1}{x}$ （ $m$ 是常数）的图象上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

21. 如图，在平面直角坐标系中.四边形 $O A B C$ 为矩形，点 $C$ 、 $A$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴的正半轴上，点 $D$ 为 $A B$ 的中点已知实数 $k \neq 0$ ，一次函数 $y = - 3 x + k$ 的图象经过点 $C$ 、 $D$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $B$ ，求 $k$ 的值.

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22. 如图，点A是反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△OAB的面积为2，求该反比例函数的解析式.

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23. 已知x₁ ， x₂ ， x₃是y= $\frac{1}{x}$ 图像上三个点的横坐标，且满足x₃>x₂>x₁>0。请比较 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 与 $\frac{2}{x_{3}}$ 的大小，并说明理由。

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24. 已知y﹣1与x成反比例，当x=1时，y=﹣5，求y与x的函数表达式．

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25. 反比例函数 $y = \frac{3}{2 x}$ 与 $y = \frac{6}{x}$ 在第一象限内的图象如图所示，过x轴上点A作y轴的平行线，与函数 $y = \frac{3}{2 x}$ ， $y = \frac{6}{x}$ 的图象交点依次为P、Q两点.若PQ＝2，求PA的长.

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26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第四象限交于点C，CD⊥x轴于点D，tan∠OAB＝2，OA＝2，OD＝1．

(1)、求该反比例函数的表达式；

(2)、点M是这个反比例函数图象上的点，过点M作MN⊥y轴，垂足为点N，连接OM、AN，如果S_△ABN＝2S_△OMN ，直接写出点M的坐标.

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四、综合题

27. 如图，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，正比例函数 $y = 2 x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象有一个交点 $A (m ， 2)$ .

(1)、 $m$ 求的值；

(2)、试判断点 $B (\frac{1}{2} ， 4)$ 是否在反比例函数图象上，并说明理由.

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28. 小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数

y = \frac{1}{x + 1}

的图象与性质.其研究过程如下：

(1)、绘制函数图象

①列表：下表是 $x$ 与 $y$ 的几组对应值，其中 $m =$ ▲ ；

$x$

…

-4

-3

-2

$- \frac{3}{2}$

$- \frac{4}{3}$

$- \frac{2}{3}$

$- \frac{1}{2}$

…

$y$

…

$- \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{2}$

-1

-3

$m$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

…

②描点：根据表中的数值描点 $(x ， y)$ ，请补充描出点 $(0 ， m)$ ；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整.

(2)、探究函数性质

判断下列说法是否正确。

①函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小：

②函数图象关于原点对称：

③函数图象与直线 $x = - 1$ 没有交点.

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29. 如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B.

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求图中阴影部分的面积.

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30. 如图，直线 $y = \frac{4}{5} x - \frac{4}{5}$ 交 $x$ 轴于点M ，四边形OMAE是矩形，S_矩形OMAE＝4，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点A ， EA的延长线交直线 $y = \frac{4}{5} x - \frac{4}{5}$ 于点D ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、若点B在 $x$ 轴上，且AB＝AD ，求点B的坐标．

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31. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于 $A (- 1 ， n)$ ， $B (3 ， - 2)$ 两点.

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、点 $P$ 在 $x$ 轴上，且满足 $△ A B P$ 的面积等于4，请直接写出点 $P$ 的坐标.

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32. 如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与正比例函数 $y = 2 x$ 的图象交于 $A (1 ， m)$ ， $B$ 两点.

(1)、求该反比例函数的表达式；

(2)、若点 $C$ 在 $x$ 轴上，且 $△ B O C$ 的面积为3，求点 $C$ 的坐标.

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