备考2022年中考数学一轮复习（湘教版）专题20 一元二次方程根与系数关系

试卷更新日期：2021-09-20 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 若m、n是一元二次方程x²＋3x﹣9＝0的两个根，则 $m^{2} + 4 m + n$ 的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、12

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2. 在解一元二次方程x²+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）

A、x²+2x﹣3＝0 B、x²+2x﹣20＝0 C、x²﹣2x﹣20＝0 D、x²﹣2x﹣3＝0

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3. 已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} - 5 x_{1} - 2 x_{2}$ 的值为（）

A、-7 B、-3 C、2 D、5

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4. 已知方程 $x^{2} - 2021 x + 1 = 0$ 的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} - \frac{2021}{x_{2}}$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2021 D、-2021

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5. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 mx + m^{2} -m = 0$ 的两实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，满足 $x_{1} x_{2} = 2$ ，则 $（ {x_{1}}^{2} + 2 ）（ {x_{2}}^{2} + 2 ）$ 的值是（）

A、8 B、16 C、32 D、16或40

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6. 设m、n是方程 $x^{2} + x - 2021 = 0$ 的两个实数根，则 $m^{2} + 2 m + n$ 的值为（）

A、2018 B、2019 C、2020 D、2021

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二、填空题

7. 关于x的方程x²﹣x﹣1＝0的两根分别为x₁、x₂则x₁+x₂﹣x₁•x₂的值为 .

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8. 实数 $m$ ， $n$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的两个根，则多项式 $m n - m - n$ 的值为.

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9. 已知一元二次方程 $x^{2} + x - 2021 = 0$ 的两根分别为m，n，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值为.

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10. 关于x的方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - m = 0$ 有两个实数根 $α ， β$ .且 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = 1$ .则 $m =$ .

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11. 关于x的方程2x²+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为.

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12. 已知 $m ， n$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ ．

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13. 设 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 的两个根，且 $x_{1} = 2 x_{2}$ ，则 $k =$ .

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14. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (k + 4) x + 4 k = 0$ （ $k \neq 0$ ）的两实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $\frac{2}{x_{1}} + \frac{2}{x_{2}} = 3$ ，则 $k =$ .

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三、解答题

15. 已知关于x的方程x²+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．

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16. 关于x的方程3x²+mx﹣8=0有一个根是 $\frac{2}{3}$ ，求另一个根及m的值．

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17. 若关于x的一元二次方程x²﹣4x+k﹣3=0的两个实数根为x₁、x₂ ，且满足x₁=3x₂ ，试求出方程的两个实数根及k的值．

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18. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (k + 1) x + k^{2} + 2 = 0$ 的两实根，且 $(x_{1} + 1) \cdot (x_{2} + 1) = 8$ ，求 $k$ 的值．

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19. 已知m，n是方程x²﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m²﹣14m+a）（3n²﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

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20. 设 $α, β$ 是方程x²+2x-9＝0的两个实数根，求 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β}$ 和 $α^{2} β + α β^{2}$ 的值.

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四、综合题

21. 若x₁ ， x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0的两个根，则x₁+x₂＝﹣ $\frac{b}{a}$ ，x₁•x₂＝ $\frac{c}{a}$ .现已知一元二次方程px²+2x+q＝0的两根分别为m，n.

(1)、若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；

(2)、若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值.

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22. 设a，b是方程x²+2x﹣2019=0的两个不相等的实数根．

(1)、a+b=；ab=；2a²+4a=；

(2)、求代数式a²+3a+b的值．

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23. 已知：关于x的方程2x²+kx﹣1=0．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．

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24. 已知关于x的方程x²﹣5x+3a+3=0

(1)、若a=1，请你解这个方程；

(2)、若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．

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25. 阅读材料：设一元二次方程ax²+bx+c＝0(a≠0)的两根为x₁ ， x₂ ，则两根与方程系数之间有如下关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ，x₁·x₂＝ $\frac{c}{a}$ ．根据该材料解题：已知x₁ ， x₂是方程x²−2x=1的两实数根．
求：

(1)、 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$

(2)、 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$

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26. 已知关于 $x$ 的方程 $(k - 1) x^{2} + (2 k - 3) x + k + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$ ．

(1)、求k的取值范围；

(2)、是否存在实数 $k$ ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 $k$ 的值；如果不存在，请您说明理由．

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