备考2022年中考数学一轮复习（湘教版）专题19 一元二次方程根的判别式

试卷更新日期：2021-09-20 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k - 3) x - k + 1 = 0$ 的根的情况，下列说法正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定

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2. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - m n x + m + n = 0$ ，其中m ， n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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3. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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4. 若一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）

A、 $a < 1$ B、 $a \leq 1$ C、 $a \leq 1$ 且 $a \neq 0$ D、 $a < 1$ 且 $a \neq 0$

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5. 关于 $x$ 的方程 ${(k - 1)}^{2} x^{2} + (2 k + 1) x + 1 = 0$ 有实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k > \frac{1}{4}$ 且 $k \neq 1$ B、 $k \geq \frac{1}{4}$ 且 $k \neq 1$ C、 $k > \frac{1}{4}$ D、 $k \geq \frac{1}{4}$

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6. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 2) x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq \frac{1}{4}$ 且 $a \neq - 2$ B、 $a \leq \frac{1}{4}$ C、 $a < \frac{1}{4}$ 且 $a \neq - 2$ D、 $a < \frac{1}{4}$

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7. 关于x的方程x²﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A、m＞2 B、m＜2 C、m＞4 D、m＜4

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8. 若直线y＝ax（a≠0）和双曲线 $y = \frac{c}{x}$ （c≠0）在同一坐标系内的图象没有交点，且关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0的根的情况三人的说法如下：
甲：方程可能有两个相等的实数根；

乙：方程没有实数根；

丙：x＝0一定不是方程的根．

下列判断正确的是（　　）

A、乙错丙对 B、乙对丙错 C、乙和丙都错 D、甲错乙对

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9. 若方程x²-cx+4=0有两个不相等的实数根，则c的值不能是（）

A、c=10 B、c=5 C、c=-5 D、c=4

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10. 有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x²﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x²﹣（a²+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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二、填空题

11. 关于x的一元二次方程x²＋2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是．

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12. 已知函数y $= {\begin{array}{l} 12 （ 1 \leq x < 3 ） \\ （ x - 5 ）^{2} + 8 （ 3 \leq x \leq 8 ） \end{array}$ 的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 .

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13. 关于x的一元二次方程x²﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝.

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14. 若关于x的一元二次方程 $3 x^{2} - 2 x - k = 0$ 有两个相等的实数根，则k的值为．

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15. 若一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + c = 0$ 无解，则c的取值范围为．

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16. 已知下面三个关于x的一元二次方程ax²+bx+c=1，bx²+cx+a=-3，cx²+ax+b=2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为。

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三、解答题

17. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，求实数 $m$ 的取值范围。

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18. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根，求 $a$ 的取值范围.

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19. 若关于 $x$ 的方程 $(x - 3) (x - 2) = p$ 有两个不相等的实数根，求 $p$ 的取值范围．

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20. 定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m²n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）²×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x²﹣bx+a=0的根的情况．

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四、综合题

21. 不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：

(1)、 $2 x^{2} + x + 1 = 0$ ；

(2)、 $2 x^{2} + k x - 1 = 0$ .

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22. 已知关于x的方程 $(k - 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个实数根．

(1)、求k的取值范围；

(2)、当k取最大整数时，求此时方程的根．

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23. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 3 m - 2 = 0$ 有实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、若m为正整数，求出此时方程的根．

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24. 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0$ ．

(1)、当 $b = a + 2$ 时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)、若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 $a$ ， $b$ 的值，并求此时方程的根．

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25. 关于x的一元二次方程x²﹣（k+3）x+2k+2=0．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程有一根小于1，求k的取值范围．

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26. 已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p² ， p为实数．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）

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27. 已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x²﹣4x+3＝0

(1)、若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；

(2)、若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值；

(3)、请为a选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．

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