备考2022年中考数学一轮复习（湘教版）专题18 一元二次方程及其解法

试卷更新日期：2021-09-20 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + 1 = 0$ B、 $a x^{2} + b x + c = 0$ C、 $2 x^{2} - y = 2$ D、 $x^{2} + \frac{1}{x} + 1 = 0$

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2. 关于x的一元二次方程 $(k + 3) x^{2} + 5 x + k^{2} + 2 k - 3 = 0$ 的一个根是0，则 $k$ 的值是（）

A、−3或1 B、1 C、−3 D、 $- 1$

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3. 方程 $x^{3} - 4 x = 0$ 的解是（）

A、2或0 B、±2或0 C、2 D、－2或0

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4. 用配方法解方程x²﹣10x﹣1＝0时，变形正确的是（　　）

A、（x﹣5）²＝24 B、（x﹣5）²＝26 C、（x+5）²＝24 D、（x+5）²＝26

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5. 用配方法解方程x²+4x+1＝0时，配方结果正确的是（）

A、（x﹣2）²＝5 B、（x﹣2）²＝3 C、（x+2）²＝5 D、（x+2）²＝3

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6. 一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = x_{2} = - 1$ B、 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 1$ C、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 1$ D、无实数解

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7. 一元二次方程 $4 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 配方后可化为（）

A、 ${(x + \frac{1}{2})}^{2} = 1$ B、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = 1$ C、 ${(x + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}$ D、 ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}$

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8. 若（a²+b²﹣3）²＝25，则a²+b²＝（）

A、8或﹣2 B、﹣2 C、8 D、2或﹣8

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9. $(m^{2} + n^{2}) (m^{2} + n^{2} - 2) - 8 = 0$ ，则 $m^{2} + n^{2}$ =（）

A、4 B、2 C、4或－2 D、4或2

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10. 若 $x = - 2$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} + \frac{3}{2} a x - a^{2} = 0$ 的一个根，则a的值为（）

A、1 B、-4 C、1或-4 D、-1或4

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11. 根据表格中的信息，估计一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 5$ （ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）的一个解 $x$ 的范围为（）

x

0

1

2

3

4

ax²+bx+c

-14.5

-11.5

-6.5

0.5

9.5

A、 $0 < x < 1$ B、 $1 < x < 2$ C、 $2 < x < 3$ D、 $3 < x < 4$

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二、填空题

12. 关于x的方程 $3 x^{m - 3} - 2 x + 4 = 0$ 是一元二次方程，则m的值为.

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13. 将一元二次方程2x²＝x﹣1化成一般形式是.

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14. 当y=时，代数式y²-2y的值为3．

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15. 若一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + 3 x + k^{2} - 1 = 0$ 有一个根为 $x = 0$ ，则k= ．

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16. 已知实数 $x$ 满足 ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} + 4 (x^{2} - 2 x + 1) - 5 = 0$ ，那么 $x^{2} - 2 x + 1$ 的值为.

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17. 用换元法解方程 $\frac{x - 1}{x} + \frac{2 x}{x - 1}$ ＝3时，设 $\frac{x - 1}{x}$ ＝y ，那么原方程化成关于y的整式方程是．

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三、计算题

18. 解方程：2x²＝3x－1

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19. 用配方法解方程： $x^{2} + 27 = 12 x$ .

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20. 解方程： $(x + 2) (x - 1) = 2 x (x - 2) + 2$

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21. 解方程： $x (x - 1) = 4 x - 4$ .

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22. 解下列方程：

(1)、2x²﹣x=1

(2)、x²+4x+2=0．

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23. 解下列方程：

(1)、x²﹣6x﹣3＝0；

(2)、3x（x﹣1）＝2（1﹣x）.

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四、解答题

24. 已知实数a是一元二次方程x²－2016x＋1＝0的根，求代数式a²－2015a－ $\frac{a^{2} + 1}{2016}$ 的值.

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25. 解方程：x（x﹣5）＝5﹣x ．小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），

方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1，

小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．

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26. 阅读下列解方程x²﹣9＝2（x﹣3）的过程，并解决相关问题．
解：将方程左边分解因式，得（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），…第一步

方程两边都除以（x﹣3），得x+3＝2，…第二步

解得x＝﹣1…第三步

①第一步方程左边分解因式的方法是，解方程的过程从第步开始出现不符合题意，错误的原因是；

②请直接写出方程的根为．

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27. 阅读理解：
解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神奇”的方法叫换元法.

例如：解方程 ${(x^{2} - x)}^{2} - 8 (x^{2} - x) + 12 = 0$

解：设 $x^{2} - x = y$

原方程化为：

$y^{2} - 8 y + 12 = 0$     ∴ $(y - 2) (y - 6) = 0$

∴ $y - 2 = 0$ 或 $y - 6 = 0$     ∴ $y_{1} = 2$ ， $y_{2} = 6$

当 $y = 2$ 时，即 $x^{2} - x = 2$

$(x - 2) (x + 1) = 0$

∴ $x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$

$x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 1$

当 $y = 6$ 时，即 $x^{2} - x = 6$

$(x - 3) (x + 2) = 0$     ∴ $x - 3 = 0$ 或 $x + 2 = 0$

∴ $x_{3} = 3$ ， $x_{4} = - 2$

∴原方程的解是： $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 1$ ， $x_{3} = 3$ ， $x_{4} = - 2$

请你利用换元法解方程： ${(x^{2} - 7)}^{2} - (x^{2} - 7) - 2 = 0$

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五、综合题

28. 在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法.例如，如果要因式分解x²+2x-3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？
这时，我们可以采用下面的办法：

x²+2x-3=x²+2×x×1+1²-1-3 ------------①

=（x+1）²-2² -------------②

解决下列问题：

(1)、填空：在上述材料中，运用了转化的思想方法，使步骤①可以运用公式进行因式分解，这种方法就是配方法；

(2)、显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解：x²+2x-3

(3)、请用上述方法因式分解：4x²-4x-3.

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29. 已知关于x的一元二次方程x²+5x+3﹣3m=0有两个不相等的实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、若m为负整数，求此时方程的根．

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30. 已知x₁ ， x₂是关于x的一元二次方程x²﹣6x+k=0的两个实数根，且x₁²x₂²﹣x₁﹣x₂=115．

(1)、求k的值；

(2)、求x₁²+x₂²+8的值．

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31.
如图，PA切⊙O于点A，PBC交⊙O于点B、C，若PB、PC的长是关于x的方程x²﹣8x+（m+2）=0的两根，且BC=4．
求：

(1)、m的值；

(2)、PA的长．

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x	0	1	2	3	4
ax²+bx+c	-14.5	-11.5	-6.5	0.5	9.5