备考2022年中考数学一轮复习（湘教版）专题8 多项式的因式分解

试卷更新日期：2021-09-20 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 多项式 $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x$ 因式分解为（）

A、 $2 x {(x - 1)}^{2}$ B、 $2 x {(x + 1)}^{2}$ C、 $x {(2 x - 1)}^{2}$ D、 $x {(2 x + 1)}^{2}$

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2. 因式分解： $1 - 4 y^{2}$ =（）

A、 $(1 - 2 y) (1 + 2 y)$ B、 $(2 - y) (2 + y)$ C、 $(1 - 2 y) (2 + y)$ D、 $(2 - y) (1 + 2 y)$

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3. 对于 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = 0$ 这类特殊的三次方程可以这样来解.先将方程的左边分解因式： $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = x^{3} - n^{2} x - x + n = x (x^{2} - n^{2}) - (x - n) = (x - n) (x^{2} + n x - 1)$ ，这样原方程就可变为 $(x - n) (x^{2} + n x - 1) = 0$ ，即有 $x - n = 0$ 或 $x^{2} + n x - 1 = 0$ ，因此，方程 $x - n = 0$ 和 $x^{2} + n x - 1 = 0$ 的所有解就是原方程的解.据此，显然 $x^{3} - 5 x + 2 = 0$ 有一个解为 $x_{1} = 2$ ，设它的另两个解为 $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则式子 $x_{2} x_{3} - x_{2} - x_{3}$ 的值（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 3$ D、7

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4. 下列四个选项中为多项式 $2 x^{2} - 10 x + 8$ 的因式是（）

A、 $2 x - 2$ B、 $2 x + 2$ C、 $x + 4$ D、 $2 x - 4$

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5. 下列各式：① $x^{2} - 16 = (x + 4) (x - 4)$ ，② ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ，③ $- a^{2} b - a b^{2} = - a b (a + b)$ ，从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、② B、①② C、①③ D、②③

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6. 对于：
① $x^{2} - 4 = {(x - 2)}^{2}$ ；② $- x^{2} + 1 = (x + 1) (1 - x)$ ；③ $x^{3} + 2 x - 4 = {(x + 2)}^{2}$ ；④ $\frac{1}{4} x^{2} - x + 1 = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{2}$ ．其中因式分解正确的是（）

A、①③ B、②③ C、①④ D、②④

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7. 下列各式中：① $- x^{2} - y^{2} = - (x + y) (x - y)$ ，② $- x^{2} + y^{2} = (- x + y) (x + y)$ ， ③ $x^{2} - 2 x - 4 = {(x - 2)}^{2}$ ，④ $x^{2} + x + \frac{1}{4} = {(x + \frac{1}{2})}^{2}$ 中，分解因式正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

8. 因式分解：x²－36= .

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9. 把多项式 $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$ 因式分解，结果为.

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10. 在实数范围内分解因式： $a b^{2} - 2 a =$ ．

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11. 已知 $x y = 2 ， x - 3 y = 3$ ，则 $2 x^{3} y - 12 x^{2} y^{2} + 18 x y^{3} =$ .

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三、计算题

12. 先因式分解，再计算求值： $2 x^{3} - 8 x$ ，其中 $x = 3$ ．

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13. 将下列多项式进行因式分解：

(1)、 $4 x^{3} - 24 x^{2} y + 36 x y^{2}$

(2)、 ${(x - 1)}^{2} + 2 (x - 5)$

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14. 分解因式： $3 x^{3} y - 6 x^{2} y^{2} + 3 x y^{3}$

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四、解答题

15. 已知实数a、b满足ab=1，a+b=2，求代数式a²b+ab²的值．

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16. 已知关于x的多项式3x²＋x＋m因式分解后有一个因式是3x－2，求m的值．

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17. 在分解因式x²＋ax＋b时，小明看错了b，分解结果为(x＋2)(x＋4)；小王看错了a，分解结果为(x－1)(x－9)，求ab的值．

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18. 若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数.如 $22$ ， $797$ ， $12321$ 都是对称数，最小的对称数是 $11$ ，但没有最大的对称数，因为数位是无穷的.
若将任意一个四位对称数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被 $9$ 整除；

设一个三位对称数为 $\overset{______}{a b a}$ （ $a + b < 10$ ），该对称数与 $11$ 相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位对称数.

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五、综合题

19. 设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x²﹣y²）（4x²﹣y²）+3x²（4x²﹣y²）能化简为x⁴？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．

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20. 如图，将一张矩形纸板按照图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m>n，(以上长度单位：cm)

(1)、观察图形，可以发现代数式2m²＋5mn＋2n²可以因式分解为；

(2)、若每块小矩形的面积为10 cm² ，四个正方形的面积和为58 cm² ，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．

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21. 阅读并完成下列各题：
通过学习，同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．

（例）用简便方法计算995×1005．

解：995×1005

=（1000﹣5）（1000+5）①

=1000²﹣5²②

=999975．

(1)、例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称）；

(2)、用简便方法计算：
①9×11×101×10 001；

②（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1）+1．

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22. 对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a²+b²（a、b为正整数），记A（m）＝ab.例如：29＝2²+5² ， 29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10.

(1)、判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；

(2)、若k是一个“平方和数”，且A（k）＝ $\frac{k - 4}{2}$ ，求k的值.

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