北师版数学九年级上册《第四章图形的相似》单元检测B卷

试卷更新日期：2021-09-20 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 下列命题是真命题的是（）

A、同旁内角相等，两直线平行 B、对角线相等的四边形是矩形 C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、两角分别相等的两个三角形相似

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2. 如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中O为位似中心，且OA=2OD ，若图案中鱼身（△ABC）的面积为S ，则鱼尾（△DEF）的面积为（）

A、 $\sqrt{S}$ B、 $\sqrt{2} S$ C、 $\frac{1}{4} S$ D、 $\frac{1}{2} S$

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3. 如图①，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ，点 $P$ 在边 $A D$ 上运动， $P M ⊥ A C$ 于点 $M$ ， $P N ⊥ B D$ 于点 $N$ ，设 $P M = x$ ， $P N = y$ ．且 $y$ 与 $x$ 满足一次函数关系，其图象如图②所示，其中 $a = 6$ ，以下判断中，错误的是（）

A、 $Rt △ A B D$ 中斜边 $B D$ 上的高为6 B、无论点 $P$ 在 $A D$ 上何处， $P M$ 与 $P N$ 的和始终保持不变 C、当 $x = 3$ 时， $O P$ 垂直平分 $A D$ D、若 $A D = 10$ ，则矩形 $A B C D$ 的面积为60

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4. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ C B A = 30 °$ ，点 $D$ 在 $B A$ 的延长线上，且 $B A = 2 A D$ 连接 $D C$ 并延长，过 $B$ 作 $B E ⊥ D C$ 于点 $E$ ，若 $B E = 3$ ，则 $Δ A C D$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，如果点 $E$ 是边 $A D$ 的中点，且 $∠ A = ∠ A E C$ ，那么下列结论错误的是（）

A、 $C E = C D$ B、 $B F = 2 D F$ C、 $A B = \frac{5}{2} E F$ D、 $S_{四边形 A B F E} = 5 S_{Δ D E F}$

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6. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别是 $A (- 1 ， 0) ， B (- 3 ， 1) ， C (- 2 ， 2)$ ，以点 $A$ 为位似中心，在点 $A$ 异侧作 $△ A D E$ ，使得 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 成位似图形，且位似比为 $2 ： 1$ ，则线段 $D E$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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7. 如图， $A B / / C D ， A E / / F D$ ， $A E$ ， $F D$ 分别交 $B C$ 于点G，H，则下列结论中错误的是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 如图，点E是正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上的一点，且 $\frac{C E}{D E} = \frac{1}{2}$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 的延长线于点F ，则 $△ C E F$ 和四边形 $A B C E$ 的面积比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{9}$

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9. 如图， $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $B D$ 是中线， $E$ 是 $B D$ 上一点，作射线 $A E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，若 $B E = 2 D E$ ，则 $F C =$ （）

A、2 B、2.5 C、3 D、3.5

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10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM：MD＝1：2.将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{9 \sqrt{5}}{8}$ C、3 D、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$

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11. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 10$ ，点E在 $B C$ 边上， $D F ⊥ A E$ ，垂足为F．若 $D F = 6$ ，则线段 $E F$ 的长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，E是 $C D$ 上的一点， $Δ A B E$ 是等边三角形， $A C$ 交 $B E$ 于点F，则下列结论不成立的是（）

A、 $∠ D A E = 30^{\circ}$ B、 $∠ B A C = 45^{\circ}$ C、 $\frac{E F}{F B} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{A D}{A B} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

13. 如图，在 $△ A B C$ 中，D为BC上一点， $B C = \sqrt{3} A B = 3 B D$ ，则 $A D ： A C$ 的值为.

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14. 如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：① $∠ A B F = ∠ D B E$ ；② $△ A B F ∽ △ D B E$ ；③ $A F ⊥ B D$ ；④ $2 B G^{2} = B H \cdot B D$ ；⑤若 $C E ： D E = 1 ： 3$ ，则 $B H ： D H = 17 ： 16$ ，你认为其中正确是（填写序号）

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15. 如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将 $△ C D F$ 沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E ．若 $A E = 5$ ，则GE的长为．

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16. 如图，已知 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{S_{△ B O C}}{S_{△ B C D}} =$ ．

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17. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是.

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18. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S_△_BFG＝5S_△_FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED.其中正确的是.（填写所有正确结论的序号）

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三、解答题

19. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，E是 $B A$ 延长线上的一点，连接 $E C$ 交 $A D$ 于点F.求证： $△ B E C ∽ △ D C F$ .

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20. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 5$ ，将 $△ A B C$ 绕点B按逆时针方向旋转，得到 $△ A_{1} B C_{1}$ 连接 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 若 $△ A B A_{1}$ 的面积为4，求 $△ C B C_{1}$ 的面积.

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21. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：

(1)、如图1，正方形 $A B C D$ 中，E是 $C D$ 上的点，将 $Δ B C E$ 绕B点旋转，使 $B C$ 与 $B A$ 重合，此时点E的对应点F在 $D A$ 的延长线上，则四边形 $B E D F$ 为“直等补”四边形，为什么？

(2)、如图2，已知四边形 $A B C D$ 是“直等补”四边形， $A B = B C = 5$ ， $C D = 1$ ， $A D > A B$ ，点 $B$ 到直线 $A D$ 的距离为 $B E$ ．
①求 $B E$ 的长．

②若M、N分别是 $A B$ 、 $A D$ 边上的动点，求 $Δ M N C$ 周长的最小值．

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22. 如图，在菱形ABCD中， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 2$ ，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F ，使 $A F = A E$ ，且CF、DE相交于点G

(1)、当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；

(2)、当 $C G = 2$ 时，求AE的长；

(3)、当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．

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23. 如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.

(1)、如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是；

(2)、如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）

(3)、若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长.

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24. 如图

(1)、（感知）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证： $\frac{A E}{E B}$ = $\frac{D E}{C B}$ .

(2)、（探究）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且 $\frac{E F}{E G}$ = $\frac{A E}{E B}$ ，连接BG交CD于点H.求证：BH=GH.

(3)、（拓展）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且 $\frac{A E}{E B}$ = $\frac{D E}{E C}$ ，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G.求证：BG=CG.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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