湘教版数学九年级上册《第4章锐角三角函数》单元检测B卷

试卷更新日期：2021-09-18 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中 $A D // B C$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ D C B = 30 °$ ，斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（）

A、 $6 \sqrt{2} m$ B、 $8 \sqrt{2} m$ C、 $4 \sqrt{6} m$ D、 $\sqrt{3} m$

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2. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、（π﹣3）⁰＝1 B、tan30°＝ $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{4}$ ＝±2 D、a²•a³＝a⁶

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4. 如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 $∠ A = 60 ° ， ∠ C = 90 ° ， A C = 2 km$ .据此，可求得学校与工厂之间的距离 $A B$ 等于（）

A、 $2km$ B、 $3km$ C、 $2 \sqrt{3} km$ D、 $4km$

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，将 $Δ A B E$ 沿直线 $A E$ 翻折，点落 $B$ 在点 $F$ 处，连结 $C F$ ，则 $C F$ 的长为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{10}{3}$

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6. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 3$ .点 $P$ 为 $Δ A B C$ 内一点，且满足 $P A^{2} + P C^{2}$ $= A C^{2}$ .当 $P B$ 的长度最小时， $Δ A C P$ 的面积是（）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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7. 如图， $△ A B C$ 底边 $B C$ 上的高为 $h_{1}$ ， $△ P Q R$ 底边 $Q R$ 上的高为 $h_{2}$ ，则有（）

A、 $h_{1} = h_{2}$ B、 $h_{1} < h_{2}$ C、 $h_{1} > h_{2}$ D、以上都有可能

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，连接 $B D$ ，将 $△ B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠得到 $△ B D E ， B E$ 交 $A D$ 于点O ， $B E$ 恰好平分 $∠ A B D$ ，若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，则点O到 $B D$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ D、3

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9. 如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O， $A E ⊥ B C$ 于E点，交BD于M点，反比例函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{3 x} (x > 0)$ 的图象经过线段DC的中点N，若 $B D = 4$ ，则ME的长为（）

A、 $M E = \frac{5}{3}$ B、 $M E = \frac{4}{3}$ C、 $M E = 1$ D、 $M E = \frac{2}{3}$

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10. 如图， $△ A B C$ 的顶点是正方形网格的格点，则 $\cos ∠ A B C$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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11. 如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 $α$ 时，梯子顶端靠在墙面上的点 $A$ 处，底端落在水平地面的点 $B$ 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 $β$ ，已知 $\sin α = \cos β = \frac{3}{5}$ ，则梯子顶端上升了（）

A、1米 B、1.5米 C、2米 D、2.5米

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12. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 $A B$ 的倾斜角为 $37 °$ ，大厅两层之间的距离 $B C$ 为6米，则自动扶梯 $A B$ 的长约为（ $\sin 37 ° \approx 0.6 ， \cos 37 ° \approx 0.8 ， \tan 37 ° \approx 0.75$ ）（）.

A、7.5米 B、8米 C、9米 D、10米

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二、填空题

13. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 $60 °$ 方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 $45 °$ 方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）.

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14. 计算： $| 1 - \sqrt{2} | + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + 2 \cos 45 ° + {(- 1)}^{0} =$ .

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15. 如图，在平面直角坐标系中， $R t △ O A B$ 斜边上的高为1， $∠ A O B = 30 °$ ，将 $R t △ O A B$ 绕原点顺时针旋转 $90 °$ 得到 $R t △ O C D$ ，点A的对应点C恰好在函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，若在 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上另有一点M使得 $∠ M O C = 30 °$ ，则点M的坐标为.

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16. 如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若 $\tan ∠ A D B = \frac{1}{2}$ ，则tan∠DEC的值是.

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17. 一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为米.

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18. 如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为 $3m/s$ ，从A处沿水平方向飞行至B处需 $10s$ ，同时在地面C处分别测得A处的仰角为 $75 °$ ，B处的仰角为 $30 °$ .则这架无人机的飞行高度大约是 $m$ （ $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果保留整数）

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三、解答题

19. 计算： $- 1^{2} + {(π - 2021)}^{0} + 2 \sin 60 ° - | 1 - \sqrt{3} |$ .

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20. 计算： ${(- 1)}^{2021} + | 2 - \sqrt{2} | - 2 \cos 60 ° + \sqrt{8}$

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21. 有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁” $C H$ 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶 $C$ 处的仰角为30°，在平地上 $B$ 处观测到楼顶 $C$ 处的仰角为 $45 °$ ，并测得A、 $B$ 两处相距 $20 m$ ，求“一心阁” $C H$ 的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} = 1.73$ ）

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22. 张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点.某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度.如图，在桥面正下方的谷底选一观测点 $A$ ，观测到桥面 $B$ ， $C$ 的仰角分别为 $30 ° ， 60 °$ ，测得 $B C$ 长为320米，求观测点 $A$ 到桥面 $B C$ 的距离.（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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23. 我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心.当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角 $∠ D P A$ 为 $30 °$ 且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角 $∠ D P B$ 为 $45 °$ ，求天舟二号从A处到B处的平均速度.（结果精确到 $1 m / s$ ，取 $\sqrt{3} = 1.732 ， \sqrt{2} = 1.414$ ）

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24. 如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高 $A B = 120$ m，楼高 $C D = 99$ m，某天上午9时太阳光线从山顶点 $A$ 处照射到住宅的点 $E$ 外.在点 $A$ 处测得点 $E$ 的俯角 $∠ E A M = 45 °$ ，上午10时太阳光线从山顶点 $A$ 处照射到住宅点 $F$ 处，在点 $A$ 处测得点 $F$ 的俯角 $∠ F A M = 60 °$ ，已知每层楼的高度为3m， $E F = 40$ m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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25. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场 $B ， C$ 两点之间的距离.如图所示，小星站在广场的 $B$ 处遥控无人机，无人机在 $A$ 处距离地面的飞行高度是 $41 .6m$ ，此时从无人机测得广场 $C$ 处的俯角为 $63 °$ ，他抬头仰视无人机时，仰角为 $α$ ，若小星的身高 $B E = 1.6 m ， E A = 50 m$ （点 $A ， E ， B ， C$ 在同一平面内）.
$(\sin 63 ° \approx 0.89 ， \cos 63 ° \approx 0.45 ， \tan 63 ° \approx 1.96 ， \sin 27 ° \approx 0.45 ， \cos 27 ° \approx 0.89 ， \tan 27 ° \approx 0.51)$

(1)、求仰角 $α$ 的正弦值；

(2)、求 $B ， C$ 两点之间的距离（结果精确到 $1m$ ）.

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二、填空题

三、解答题

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