湘教版数学九年级上册《第4章锐角三角函数》单元检测A卷

试卷更新日期：2021-09-18 类型：单元试卷

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一、单选题

1. $\tan 30 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、2

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2. 如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则 tan∠ABC的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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3. 如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（）

A、 $\frac{6}{\sin 50^{\circ}}$ B、 $\frac{6}{\cos 50^{\circ}}$ C、6cos50° D、 $\frac{6}{\tan 50^{\circ}}$

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4. 如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）

A、tan55°＝ $\frac{6}{x - 1}$ B、tan55°＝ $\frac{x - 1}{6}$ C、sin55°＝ $\frac{x - 1}{6}$ D、cos55°＝ $\frac{x - 1}{6}$

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5. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线 $A B$ 与垂直中心线 $A C$ 的夹角为 $∠ A$ ，过点B向垂直中心线 $A C$ 引垂线，垂足为点D．通过测量可得 $A B$ 、 $B D$ 、 $A D$ 的长度，利用测量所得的数据计算 $∠ A$ 的三角函数值，进而可求 $∠ A$ 的大小．下列关系式正确的是（）

A、 $\sin A = \frac{B D}{A B}$ B、 $\cos A = \frac{A B}{A D}$ C、 $\tan A = \frac{A D}{B D}$ D、 $\sin A = \frac{A D}{A B}$

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6. 如图，小明利用一个锐角是 $30 °$ 的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 $B C$ 为 $15m$ ， $A B$ 为 $1 .5m$ （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）

A、 $(15 \sqrt{3} + \frac{3}{2}) m$ B、 $5 \sqrt{3} m$ C、 $15 \sqrt{3} m$ D、 $(5 \sqrt{3} + \frac{3}{2}) m$

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7. 某限高曲臂道路闸口如图所示， $A B$ 垂直地面 $l_{1}$ 于点 $A$ ， $B E$ 与水平线 $l_{2}$ 的夹角为 $α (0 ° \leq α \leq 90 °)$ ， $E F / / l_{1} / / l_{2}$ ，若 $A B = 1.4$ 米， $B E = 2$ 米，车辆的高度为 $h$ （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度.
①当 $α = 90 °$ 时， $h$ 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当 $α = 45 °$ 时， $h$ 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当 $α = 60 °$ 时， $h$ 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.则上述说法正确的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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8. 如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为 $i = 1 ： 2.4$ ，坡顶D到BC的垂直距离 $D E = 50$ 米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据： $\sin 50 ° \approx 0.77$ ； $\cos 50 ° \approx 0.64$ ； $\tan 50 ° \approx 1.19$ ）

A、69.2米 B、73.1米 C、80.0米 D、85.7米

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9. 如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米， $∠ A = α$ ，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（）

A、 $30 \sin α$ 米 B、 $\frac{30}{\sin α}$ 米 C、 $30 \cos α$ 米 D、 $\frac{30}{\cos α}$ 米

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10. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，若 $A C = 100 ， \sin A = \frac{3}{5}$ ，则 $A B$ 的长是（）

A、 $\frac{500}{3}$ B、 $\frac{503}{5}$ C、60 D、80

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11. 如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.732）（）

A、136.6米 B、86.7米 C、186.7米 D、86.6米

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12. 如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（）

A、76.9m B、82.1m C、94.8m D、112.6m

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二、填空题

13. 数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机.当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为米.

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14. 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为米．（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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15. 如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为 m（结果精确到1m， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）．

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16. 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图， $A B$ ， $B C$ 可分别绕点A，B转动，测量知 $B C = 8 cm$ ， $A B = 16 cm$ .当 $A B$ ， $B C$ 转动到 $∠ B A E = 60 °$ ， $∠ A B C = 50 °$ 时，点C到 $A E$ 的距离为cm.（结果保留小数点后一位，参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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17. 如图，海中有一个小岛 $A$ ，一艘轮船由西向东航行，在 $B$ 点测得小岛 $A$ 在北偏东 $60 °$ 方向上；航行 $12 n mile$ 到达 $C$ 点，这时测得小岛 $A$ 在北偏东 $30 °$ 方向上.小岛 $A$ 到航线 $B C$ 的距离是 $n mile$ （ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果用四舍五入法精确到0.1）.

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18. 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头 $C$ 处的高度 $C D$ 为 $238$ 米，点A ， D ， B在同一直线上，则通道AB的长度为米．(结果保留整数，参考数据 $\sin 50 ° \approx 0.77$ ， $\cos 50 ° \approx 0.64$ ， $\tan 50 ° \approx 1.19$ )

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三、解答题

19. 计算： ${(- 1)}^{2021} + | 2 - \sqrt{2} | - 2 \cos 60 ° + \sqrt{8}$

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20. 计算：（π﹣1）⁰＋| $\sqrt{3}$ ﹣2|﹣（ $\frac{1}{3}$ ）^﹣¹＋tan60°.

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21. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点 $A$ 与佛像 $B D$ 的底部 $D$ 在同一水平线上.已知佛像头部 $B C$ 为 $4 m$ ，在 $A$ 处测得佛像头顶部 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，头底部 $C$ 的仰角为 $37.5 °$ ，求佛像 $B D$ 的高度（结果精确到 $0.1 m$ .参考数据： $\sin 37.5 ° \approx 0.61$ ， $\cos 37.5 ° \approx 0.79$ ， $\tan 37.5 ° \approx 0.77$ ）

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22. 今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式.仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为 $45 °$ ，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为 $23 °$ ，已知小明目高 $A E = 1.4$ 米，距旗杆 $C G$ 的距离为15.8米，小刚目高 $B F = 1.8$ 米，距小明24.2米，求国旗的宽度 $C D$ 是多少米？（最后结果保留一位小数）（参考数据： $\sin 23 ° \approx 0.3907 ， \cos 23 ° \approx 0.9205 ， \tan 23 ° \approx 0.4245$ ）

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23. 如图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄 $A B$ 与地面 $D E$ 平行，踏板 $C D$ 长为 $1.5 m$ ， $C D$ 与地面 $D E$ 的夹角 $∠ C D E = 15 °$ ，支架 $A C$ 长为 $1 m$ ， $∠ A C D = 75 °$ ，求跑步机手柄 $A B$ 所在直线与地面 $D E$ 之间的距离.（结果精确到 $0.1 m$ .参考数据： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\cos 15 ° \approx 0.97$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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24. 某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 $10 (3 + \sqrt{3})$ 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 $60 °$ 的方向上，当海监船行驶 $20 \sqrt{2}$ 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东 $45 °$ 方向上.

(1)、求A，P之间的距离AP；

(2)、若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

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25. 某种落地灯如图1所示， $A B$ 为立杆，其高为 $84 cm$ ； $B C$ 为支杆，它可绕点 $B$ 旋转，其中 $B C$ 长为 $54 cm$ ； $D E$ 为悬杆，滑动悬杆可调节 $C D$ 的长度.支杆 $B C$ 与悬杆 $D E$ 之间的夹角 $∠ B C D$ 为 $60 °$ .

(1)、如图2，当支杆 $B C$ 与地面垂直，且 $C D$ 的长为 $50 cm$ 时，求灯泡悬挂点 $D$ 距离地面的高度；

(2)、在图2所示的状态下，将支杆 $B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $20 °$ ，同时调节 $C D$ 的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 $D$ 到地面的距离为 $90 cm$ ，求 $C D$ 的长.（结果精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.34$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94$ ， $\tan 20 ° \approx 0.36$ ， $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ）

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二、填空题

三、解答题

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