湘教版数学九年级上册同步训练《4.1 正弦和余弦》

试卷更新日期：2021-09-18 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosA等于（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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2. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 3$ ，则 $\sin B =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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3. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = α$ ， $A C = 2$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $\frac{2}{\sin α}$ B、 $2 \sin α$ C、 $\frac{2}{\cos α}$ D、 $2 \cos α$

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4. 已知 $△ A B C$ 是锐角三角形，若 $A B > A C$ ，则（）

A、 $\sin A < \sin B$ B、 $\sin B < \sin C$ C、 $\sin A < \sin C$ D、 $\sin C < \sin A$

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5. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子 $A B$ 的长是3米.若梯子与地面的夹角为 $α$ ，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　）

A、 $3 \sin α$ 米 B、 $3 \cos α$ 米 C、 $\frac{3}{\sin α}$ 米 D、 $\frac{3}{\cos α}$ 米

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6. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $\frac{B C}{A B} = \frac{3}{5}$ ，则（）

A、 $\cos A = \frac{3}{5}$ B、 $\sin B = \frac{3}{5}$ C、 $\cos B = \frac{4}{5}$ D、 $\sin A = \frac{3}{5}$

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的高， $∠ A \neq 45 °$ ，则下列比值中等于 $\sin A$ 的是（）

A、 $\frac{A D}{A C}$ B、 $\frac{B D}{B C}$ C、 $\frac{C D}{C B}$ D、 $\frac{C B}{A C}$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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10. 在 $Δ A B C$ 中， $A C \neq B C ， ∠ A C B = 90 ° ， C D ⊥ A B$ ，垂足为D，则下列比值中不等于 $\sin A$ 的是（）

A、 $\frac{C D}{A C}$ B、 $\frac{B D}{C B}$ C、 $\frac{C B}{A B}$ D、 $\frac{C D}{C B}$

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二、填空题

11. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，则sinB的值是

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12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D ， AB＝8，AC＝6，则cos∠DCB＝．

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13. 如图，在平面直角坐标系中有一点 $P (6 ， 8)$ ，那么 $O P$ 与 $x$ 轴的正半轴的夹角 $α$ 的余弦值为．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B D$ 是高，且 $\cos ∠ A B D = \frac{3}{5}$ ，则 $C D =$ ．

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15. 如图所示的网格是边长为1的正方形网格， $A$ ， $B$ ， $C$ 是网格线交点，则 $\cos ∠ A B C =$ ．

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16. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ， B ， C ， D都在这些小正方形的顶点上，AB ， CD相交于点O ，则cos∠BOD＝．

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三、解答题

17. 在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°}$ ， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边分别为a，b，c， $\sin A + \sin B = \frac{7}{5}$ ， $a + b = 28$ ，求c的值.

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18. 在△ABC中，∠C=90°，BC=24cm，cosA= $\frac{5}{13}$ ，求这个三角形的周长．

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19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值．

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20.
如图①为一种平板电脑保护套的支架效果图，AM固定于平板电脑背面，与可活动的MB、CB部分组成支架．平板电脑的下端N保持在保护套CB上，不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度，绘制成图②，其中AN表示平板电脑，M为AN上的定点，AN=CB=20cm，AM=8cm，MB=MN，我们把∠ANB叫做倾斜角，根据以上数据，判断倾斜角能小于30°吗？请说明理由．

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21. △ABC，∠C=90°，BC=3，AB=5，求sinA，cosA的值．

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22. 阅读材料，回答问题：
小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b= $\sqrt{3}$ ，AB=c=2，那么 $\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{sinB}$ =2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着 $\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ 的关系．

这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：

(1)、如图2，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，请判断此时“ $\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ ”的关系是否成立？

(2)、完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“ $\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ ”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C作CD⊥AB于D，过点A作AH⊥BC，再结合定义或其它方法证明）．

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