江苏省镇江市2021年数学中考二模试卷（5月）

试卷更新日期：2021-09-18 类型：中考模拟

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一、填空题

1. 2的相反数是．

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2. 若分式 $\frac{2}{x + 3}$ 有意义，则x的取值范围是.

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3. 4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示为.

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4. 如图，飞镖游戏板（

5 \times 5

方格）中每一块小正方形除标注的数字外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中标有数字“1”的小正方形的概率等于.

1	2	3	2	3
2	2	1	2	3
1	3	3	1	2
1	3	1	2	2
2	3	2	3	1

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5. 分解因式： $2 x^{2} + 4 x =$ .

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6. 一组数据2，3，1，6，3的平均数为.

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 45 ° ， ∠ B = 30 °$ ，直尺的一边与 $B C$ 平行，则 $∠ 1 =$ $°$ .

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8. 已知一次函数 $y = \frac{5}{3} x + 2$ ，当 $- 3 \leq x \leq 3$ 时，y的最小值等于.

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9. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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10. 如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，若 $S_{△ A C D} ： S_{△ B C D} = 3 ： 2$ ，则 $\cos ∠ A C B =$ .

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11. 公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼（Eratosthenes）通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度.他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，从太阳射来的光线可以看作平行线，在同一时刻，光线与A城和地心的连线 $O P$ 所夹的锐角记为 $∠ 1$ ，光线与B城和地心的连线 $O Q$ 重合，通过测量A，B两城间的距离（即 $\overset{⌢}{A B}$ ）和 $∠ 1$ 的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了.已知 $\overset{⌢}{A B} \approx 768 km$ ，若 $∠ 1 \approx 7.2 °$ ，则地球的周长约为 $km$ .

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12. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (1 ， - 2)$ ，点 $B (2 ， 1)$ ，点P在一次函数 $y = \frac{1}{2} x + b$ 的图象上，若满足 $∠ P A B = 45 °$ 的点P只有1个，则b的取值范围是.

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二、单选题

13. $| - 5 |$ 的值等于（）

A、5 B、-5 C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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14. 下面计算正确的是（）

A、 $3 a + 2 b = 5 a b$ B、 $5 a^{2} b - 2 b a^{2} = 3 a^{2} b$ C、 $- (6 x + 2 y) = - 6 x + 2 y$ D、 ${(- 2 a)}^{2} = - 4 a^{2}$

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15. 如图所示，该几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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16. 如图， $⊙ O$ 中所对的圆周 $∠ A C B = 67 °$ ，点P在劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $∠ A O P = 42 °$ ，则 $∠ B O P$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $90 °$ C、 $92 °$ D、 $109 °$

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17. 将二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3 (0 \leq x \leq 4)$ 位于x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原二次函数位于x轴上方的部分组成一个新图象，这个新图象对应的函数最大值与最小值之差为（）

A、1 B、3 C、4 D、5

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18. 我们知道， $△ A B C$ 的重心就是三条中线 $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 的交点G，如图1，其中 $\frac{G D}{A D} = \frac{G E}{B E} = \frac{G F}{C F} = \frac{1}{3}$ .如图2， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ，$ $A C = 4 ， B C = 8$ ，将 $R t △ A B C$ 绕其重心G旋转，A、B、C的对应点分别是 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ，与 $C A_{1}$ 的最大值最接近的是（）
（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73 ， \sqrt{5} \approx 2.24$ ）

A、5.5 B、6.5 C、7.5 D、8.5

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三、解答题

19.

(1)、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + \tan 45 ° - \sqrt{9}$ ；

(2)、化简： $(\frac{x}{x - 1} - \frac{x}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ .

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20.

(1)、解方程： $\frac{x}{x - 2} + 1 = \frac{8}{x - 2}$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x + 2 \leq x \\ x + 5 > - \frac{1}{2} x - 1 \end{array}$ .

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21. D是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的一点，E是 $B C$ 边的中点，过点C作 $A B$ 的平行线，交 $D E$ 的延长线于点F，连接 $C D$ 、 $B F$ .

(1)、求证： $D E = E F$ ；

(2)、已知 $B C = 8 ， D F = 6$ ，当 $D B =$ 时，四边形 $C D B F$ 是菱形.

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22. 随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式.在一次购物中，马老师和赵老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付.求两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率.

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23. 如图1，点C在线段 $A B$ 上，图中共有3条线段 $A B$ 、 $A C$ 、和 $B C$ ，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段 $A B$ 的“二倍点”.
如图2，一次函数 $y = a x + 2 a (a > 0)$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象位于第一象限的部分相交于点C.

(1)、求点A的坐标；

(2)、若点B是线段 $A C$ 的“二倍点”，则 $a =$ .（直接写出结果）

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24. 为增强同学们的科学防疫意识，学校开展了以“科学防疫，健康快乐”为主题的安全知识竞赛，从全校学生中随机抽取了男、女同学各40名，并将数据进行整理分析，得到如下信息：

信息一：女生成绩扇形统计图和男生成绩频数分布直方图如图

（数据分组为A组： $x < 70$ ，B组： $70 \leq x < 80$ ，C组： $80 \leq x < 90$ ，D组： $90 \leq x \leq 100$ ）

信息二：女生C组中全部15名学生的成绩为：86，87，81，83，88，84，85，87，86，89，82，88，89，85，89；

信息三：男、女生两组数据的相关统计数据如表：（单位：分）

	平均数	中位数	众数	满分率
女生	90	b	c	25%
男生	90	88	98	15%

请根据上述信息解决问题：

(1)、扇形统计图中A组学生有人，表格中的中位数

b =

，众数

c =

；

(2)、若成绩在90分（包含90分）以上为优秀，请估计该校1600名学生此次知识竞赛中优秀的人数.

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25. 如图，公园里有一棵大树（ $A B$ ）与一棵小树（ $C D$ ），受测量工具、地理环境及安全等因素影响不能直接测量它们的高度之差，小明与小丽手中有一副含 $30 °$ 角的直角三角尺和一根皮尺，小明首先在与树根B、D成一条直线的点E处用三角尺测得小树 $C D$ 顶部C的仰角为 $30 °$ ，然后他向后移动调整，在M处用三角尺测得大树 $A B$ 顶部A的仰角也是 $30 °$ ，点M仍然与B、D在一条直线上，然后他俩用皮尺测得 $B D = 4.5$ 米， $E M = 1.5$ 米，求两棵树的高度之差.

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26. 阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.

例如：已知 $x y = 1$ ，求 $\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 + y}$ 的值.

解：原式 $= \frac{x y}{x y + x} + \frac{1}{1 + y} = \frac{y}{y + 1} + \frac{1}{1 + y} = \frac{y + 1}{y + 1} = 1$ .

问题解决：

(1)、已知 $x y = 1$ .
①代数式 $\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}}$ 的值为 ▲ ；

②求证： $\frac{1}{1 + x^{2021}} + \frac{1}{1 + y^{2021}} = 1$ .

(2)、若x满足 ${(2021 - x)}^{2} + {(2020 - x)}^{2} = 4043$ ，求 $(2021 - x) (2020 - x)$ 的值.

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27. 如图1， $△ A B C$ 中， $A B = 5 ， A C = 3 \sqrt{2} ， B C = 7$ ，半径为r的 $⊙ O$ 经过点A且与 $B C$ 相切，切点M在线段 $B C$ 上（包含点M与点B、C重合的情况）.

(1)、半径r的最小值等于：

(2)、设 $B M = x$ ，求半径r关于x的函数表达式；

(3)、当 $B M = 1$ 时，请在图2中作出点M及满足条件的 $⊙ O$ .
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）

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28. 如图1，二次函数 $y = \frac{1}{4} {(x - 2)}^{2}$ 的图象记为 $C_{1}$ ，与y轴交于点A，其顶点为B，二次函数 $y = \frac{1}{4} {(x - h)}^{2} - \frac{1}{2} h + 1 (h > 2)$ 的图象记为 $C_{2}$ ，其顶点为D，图象 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 相交于点P，设点P的横坐标为m.

(1)、求证：点D在直线 $A B$ 上；

(2)、求m和h的数量关系；

(3)、平行于x轴的直线 $l_{1}$ 经过点P，与图象 $C_{1}$ 交于另一点E，与图象 $C_{2}$ 交于另一点F，若 $\frac{P F}{P E} = 2$ ，求h的值；

(4)、如图2，过点P作平行于 $A B$ 的直线 $l_{2}$ ，与图象 $C_{2}$ 交于另一点Q，连接 $D Q$ .当 $D Q ⊥ A B$ 时， $h =$ .（直接写出结果）

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