江苏省南京玄武区2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-09-18 类型：中考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 化简 $\sqrt{8}$ 的正确结果是（）

A、4 B、±4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\pm 2 \sqrt{2}$

查看试题解析
2. 计算 ${(- a)}^{3} \cdot {(- a)}^{2}$ 的结果是（）

A、 $- a^{5}$ B、 $a^{5}$ C、 $- a^{6}$ D、 $a^{6}$

查看试题解析
3. 下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
4. 下列整数中，与 $10 - \sqrt{30}$ 最接近的是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

查看试题解析
5. 已知二次函数 $y = a {(x - 2)}^{2} + 2 a (x - 2)$ （ $a$ 为常数， $a \neq 0$ ）当 $x = 1$ 时， $y > 0$ ，则该函数图象的顶点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
6. 某聊天软件规定：若任意连续5天，好友双方的每日聊天记录的条数不低于100，则双方可以获得“星形”标识.甲、乙两位好友连续5天在该软件上聊天，下面是这5天日聊天记录条数的统计量，一定能判断甲、乙获得“星形”标识的是（）

A、中位数为110条，极差为20条 B、中位数为110条，众数为112条 C、中位数为106条，平均数为102条 D、平均数为110条，方差为10条²

查看试题解析

二、填空题

7. 写出一个负数，使这个数的绝对值大于2：.

查看试题解析
8. 若式子 $\frac{2}{x + 1}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

查看试题解析
9. 计算 $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{12} - \sqrt{3}}$ 的结果是.

查看试题解析
10. 分解因式 $(x + 3) (x + 1) + 1$ 的结果是.

查看试题解析
11. 纳米 $(nm)$ 是非常小的长度单位， $1 nm = 10^{- 9} m$ ，我国某物理研究所已研制出直径为 $0.5 nm$ 的碳纳米管，用科学记数法表示 $0.5 nm$ 是 $m$ .

查看试题解析
12. 如图是一个正六边形的飞镖游戏板，顺次连接三个不相邻的顶点将正六边形分成4个区域.向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是.

查看试题解析
13. 如图， $A$ 、 $B$ 分别是反比例函数 $y_{1} = - \frac{2}{x} (x < 0)$ ， $y_{2} = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 图象上的点，且 $A B // x$ 轴， $C$ 是 $x$ 轴上的点，连接 $A C$ ， $B C$ .若 $△ A B C$ 的面积是3，则 $k$ 的值是.

查看试题解析
14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线 $M N$ 交 $B C$ 边于点 $N$ ，垂足为 $M$ ，若 $B N = 6$ ， $C N = 4$ ，则 $M N$ 的长为.

查看试题解析
15. 如图，直线 $P Q$ 经过正五边形 $A B C D E$ 的中心 $O$ ，与 $A B$ 、 $C D$ 边分别交于点 $P$ 、 $Q$ ，点 $C_{1}$ 是点 $C$ 关于直线 $P Q$ 的对称点，连接 $C C_{1}$ ， $A C_{1}$ ，则 $∠ C C_{1} A$ 的度数为°.

查看试题解析
16. $P_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ 是下列函数图象上任意的两点：① $y = - 3 x + 1$ ；② $y = \frac{3}{x}$ ；③ $y = x^{2} - 2 x - 3$ ；④ $y = - x^{2} - 2 x + 3 (x > 0)$ ；其中，满足 $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) < 0$ 的函数有.（填上所有正确的序号）

查看试题解析

三、解答题

17. 解下列方程.

(1)、 $x^{2} + 6 x + 2 = 0$ ；

(2)、 $\frac{2}{x^{2} - 1} + 1 = \frac{x}{x - 1}$ .

查看试题解析
18. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + a b} \div (a - 2 b + \frac{b^{2}}{a})$ ，其中 $a - b = \sqrt{2}$ .

查看试题解析

19. 一个家具厂有甲、乙两个木料供货商，随机抽取该家具厂向这两个供货商订货后等待交货天数的样本数据，样本容量都为 10，并绘制如下统计图.

(1)、扇形统计图中“9天”对应扇形的圆心角度数为°；

(2)、根据以上信息，填空：

供货商	平均数/天	中位数/天	众数/天	方差/天²
甲	①	②	9	1.8
乙	8	8	8	③

(3)、你认为家具厂从哪一个供货商进货比较好？请说明理由.

查看试题解析

20. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $D E / / B C$ .求证 $D M = E N$ .

查看试题解析
21. 某学校护学岗值班，每天只需要一名家长.甲、乙两位家长从周一到周四这四天中各随机选择两天值班.

(1)、求甲恰好是连续的两天值班的概率；

(2)、甲、乙恰好都是连续的两天值班的概率是.

查看试题解析
22. 如图，某海域有两个海岛 $A$ ， $B$ ，海岛 $B$ 位于海岛 $A$ 的正南方向，这两个海岛之间有暗礁，灯塔 $C$ 位于海岛 $A$ 的南偏东47.5°方向，海岛 $B$ 的北偏东70°方向，一艘海轮从海岛 $B$ 出发，沿正南方向航行32海里到达 $D$ 处，测得灯塔 $C$ 在北偏东37°方向上.求海岛 $A$ ， $B$ 之间的距离.（参考数据： $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\tan 47.5 ° \approx 1.10$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ）

查看试题解析
23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 边上的点， $D E = B F$ ，连接 $E F$ . $∠ E F B$ ， $∠ F E D$ 的平分线分别交 $A B$ ， $C D$ 边于点 $M$ ， $N$ ，连接 $M E$ ， $N F$ .

(1)、求证：四边形 $E M F N$ 是平行四边形；

(2)、小明在完成（1）的证明后继续探索，他猜想：当 $M$ 为 $A B$ 的中点时，四边形 $E M F N$ 是矩形，请在下列框图中补全他的证明思路.
小明的证明思路

连接 $M N$ .由（1）知四边形 $E M F N$ 是平行四边形.要证 $▱ E M F N$ 是矩形，只要证 $M N = E F$ .

故只要证 $∠ F E N = ∠ M N E$ .

由已知条件（     ），故只要证 $M N // A D$ ，

即证四边形 $A M N D$ 为平行四边形.易证（     ）

故只要证 $A M = D N$ ，易证 $A M = B M$ ，故只要证（     ），易证 $△ B M F ≌ △ D N E$ ，即可得证.

查看试题解析
24. 已知二次函数 $y = x^{2} - (2 m + 2) x + m^{2} + 2 m$ （ $m$ 是常数）.

(1)、求证：不论 $m$ 为何值，该二次函数图象与 $x$ 轴总有两个公共点；

(2)、二次函数的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ ，顶点为 $B$ ，将二次函数的图象沿 $y$ 轴翻折，所得图象的顶点为 $B_{1}$ ，若 $△ A B B_{1}$ 是等边三角形，求 $m$ 的值.

查看试题解析
25. 小明在动物园游玩结束后，联系爸爸去餐厅就餐，如图①，小明从动物园骑车出发，匀速前往餐厅.稍后，小明爸爸从家开车出发，匀速前往餐厅；行驶一段时间，爸爸发现手机落在家里，立即按原路以原速返回（取手机的时间忽略不计），再立即以原速前往餐厅，设小明出发第 $x \min$ 时，与餐厅的距离为 $y_{1} km$ ，小明爸爸与餐厅的距离为 $y_{2} km$ . $y_{1}$ ， $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数关系如图②所示.

(1)、小明的速度是 $km / \min$ ；

(2)、求线段 $M N$ 所表示的 $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

(3)、设小明与爸爸之间的距离为 $S km$ ，在图③中画出 $S$ 与 $x$ 之间的函数图象.（标明必要的数据）

查看试题解析
26. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，经过 $A$ ， $C$ 的 $⊙ O$ 与 $B C$ 边另一个公共点为 $D$ ，与 $A B$ 边另一个公共点为 $E$ ，连接 $C E$ .

(1)、如图①，若 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = E C$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

(2)、如图②，作 $∠ B E F = ∠ A C E$ ，交 $B C$ 边于点 $F$ .求证：直线 $E F$ 与 $⊙ O$ 相切.

查看试题解析
27. （问题情境）
如图①，小区 $A$ 、 $B$ 位于一条笔直的道路 $l$ 的同侧，为了方便 $A$ ， $B$ 两个小区居民投放垃圾，现在 $l$ 上建一个垃圾分类站 $C$ ，使得 $C$ 与 $A$ ， $B$ 的距离之比为 $2 ： 1$ .

(1)、（初步研究）
在线段 $A B$ 上作出点 $C$ ，使 $\frac{C A}{C B} = 2$ .
如图，做法如下：

第一步：过点 $A$ 作射线 $A M$ ，

以 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧，交 $A M$ 于点 $P_{1}$ ；

以 $P_{1}$ 为圆心， $A P_{1}$ 长为半径画弧，交 $A M$ 于点 $P_{2}$ ；

以 $P_{2}$ 为圆心， $A P_{1}$ 长为半径画弧，交 $A M$ 于点 $P_{3}$ .

第二步：连接 $B P_{3}$ ，作 $∠ A P_{2} C = ∠ A P_{3} B$ ，交 $A B$ 于点 $C$ .

则点 $C$ 即为所求.

请证明所作的点 $C$ 满足 $\frac{C A}{C B} = 2$ .

(2)、（深入思考）
如图，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，点 $D$ 在直线 $A B$ 外，且 $\frac{D A}{D B} = \frac{C A}{C B} = 2$ .
求证： $D C$ 是 $∠ A D B$ 的平分线.

(3)、（问题解决）
如图，已知点 $A$ ， $B$ 和直线 $l$ ，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，且 $\frac{C A}{C B} = 2$ .用直尺和圆规完成下列作图.（保留作图痕迹，不写作法）
（ⅰ）在直线 $A B$ 上作出点 $E$ （异于点 $C$ ），使 $\frac{E A}{E B} = 2$ ；

（ⅱ）在直线 $l$ 上作出点 $F$ ，使 $\frac{F A}{F B} = 2$ .

查看试题解析