江苏省南京市秦淮区2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-09-18 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $\frac{3}{2}$ 的倒数是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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2. 计算 ${(- a b^{2})}^{3}$ 的结果是（）

A、 $a^{3} b^{6}$ B、 $- a b^{6}$ C、 $- a^{3} b^{5}$ D、 $- a^{3} b^{6}$

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3. 数轴上表示 $a 、 b$ 两数的点分别在原点左、右两侧，下列事件是随机事件的是（）

A、 $a + b > 0$ B、 $a - b > 0$ C、 $a \cdot b > 0$ D、 $a \div b < 0$

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4. 如图，过反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上的一点P作 $P Q ⊥ x$ 轴，垂足为Q，连接 $P O$ .若 $△ O P Q$ 的面积是2，则k的值是（）

A、4 B、-4 C、2 D、-2

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5. 用一个平面截棱长为1的正方体（如图），截面形状不可能是（）

A、边长为1的正方形 B、长为 $\sqrt{2}$ 、宽为1的矩形 C、边长为 $\sqrt{2}$ 的正三角形 D、三边长为1、1、 $\sqrt{2}$ 的三角形

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6. 百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形.关于凹四边形 $A B C D$ （如图），以下结论：
① $∠ B C D = ∠ A + ∠ B + ∠ D$ ；②若 $A B = A D ， B C = C D$ ，则 $A C ⊥ B D$ ；③若 $∠ B C D = 2 ∠ A$ ，则 $B C = C D$ ；④存在凹四边形 $A B C D$ ，有 $A B = C D ， A D = B C$ .其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①②③ C、①②④ D、①③④

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二、填空题

7. 若式子 $\frac{2}{x - 1} + 1$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

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8. 计算 $\frac{\sqrt{18} - \sqrt{2}}{\sqrt{8}}$ 的结果是.

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9. 新冠病毒粒径约为 $0.1 μ m (1 μ m = 10^{- 6} m)$ ，用科学记数法表示 $0.1 μ m$ 是m.

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10. 若 $x_{1} 、 x_{2}$ 是一元二次方程 $- 2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2}$ 的值是.

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11. 顶角是 $36 °$ 的等腰三角形叫做黄金三角形.如图， $A C 、 A D 、 B E$ 是正五边形 $A B C D E$ 的3条对角线，图中黄金三角形的个数是.

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12. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ B A C = 30 °$ .将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转后得 $△ A^{'} B^{'} C$ ，且点 $B^{'}$ 落在 $A B$ 边上，连接 $A A^{'}$ .若 $B C = 2$ ，则四边形 $A B^{'} C A^{'}$ 的面积为.

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13. 已知四边形 $A B C D$ 的四个顶点都在 $⊙ O$ 上，则得到结论 $∠ A + ∠ C = 180 °$ .上述推理由因到果的依据是.

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14. 将二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ 的图象沿着y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是.

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15. 如图，线段 $A B 、 C D$ 的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点M.若每个小正方形的边长都是1，则 $\frac{M C}{M D}$ 的值是.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以O为圆心，2个单位长度为半径画圆.若一次函数 $y = k x + 5 k$ （k为常数， $k \neq 0$ ）的图象与 $⊙ O$ 有公共点，则k的取值范围是.

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三、解答题

17. 解方程组 ${\begin{array}{l} x - 2 y = 3 ， \\ 3 x = 2 y + 5. \end{array}$

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18. 解一元一次不等式 $\frac{1 - x}{2} - 6 < \frac{x - 4}{3}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来.

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19. 已知甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等.若乙比甲每小时多做9个零件，则甲、乙两人每小时各做多少个零件？

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20. 某校组建了射击兴趣小组，甲、乙两人连续8次射击成绩如下列图、表所示（统计图中乙的第8次射击成绩缺失）.

甲、乙两人连续8次射击成绩统计表

	平均成绩（环）	中位数（环）	方差（ $环^{2}$ ）
甲	▲	7.5	▲
乙	6	▲	3.5

(1)、补全统计图和统计表；

(2)、如果你是教练，要从甲、乙两人中选一位参加比赛，你会选谁？写出你这样选择的2条理由.

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21. 在4张完全一样的纸条上分别写上 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ ，做成4支签，放入一个不透明的盒子中搅匀.甲先从中任意抽出1支签，不放回，乙再从剩余的签中任意抽出1支.

(1)、甲抽到写着数字“1”的签的概率是.

(2)、乙抽到写着数字“1”的签的概率与（1）的结果相同吗？请通过计算说明.

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22. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， D$ 是 $A B$ 的中点，过点D作 $D E // A C$ 且 $D E = A C$ ，交 $B C$ 于点O，连接 $C D ， B E ， C E$ .

(1)、求证：四边形 $B E C D$ 是菱形；

(2)、当 $A B$ 和 $A C$ 满足数量关系时，四边形 $B E C D$ 是正方形.

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23. 如图， $⊙ O$ 的弦 $A B 、 C D$ 相交于点P，且 $A B = C D$ .求证 $P B = P D$ .

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24. 如图，有一垂直于地面的电线杆 $A B$ .在一建筑物二楼平台上的C处和三楼平台上的D处测得A的仰角分别为 $45 ° ， 35 °$ .已知建筑物的层高 $C E$ 和 $D F$ 都是 $3.3 m ， C F$ 的长为 $3 m$ .求电线杆 $A B$ 的高度.（图中所有点都在同一平面内，参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.57 ， \cos 35 ° \approx 0.82 ， \tan 35 ° \approx 0.70$ .）

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25. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，E是 $A D$ 上一点，延长 $C E$ 到点F，使 $C E \cdot F C = D E \cdot A D$ .

(1)、求证 $∠ D = ∠ F$ ；

(2)、用直尺和圆规在 $A D$ 上作出一点P，使 $△ B P C ∽ △ C D P$ （保留作图的痕迹，不写作法）.

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26. 如图①，小明和小亮分别站在平地上的 $C 、 D$ 两地先后竖直向上抛小球 $A 、 B$ （抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面. $A 、 B$ 两球到地面的距离 $y_{1} (m)$ 和 $y_{2} (m)$ 与小球A离开小明手掌后运动的时间 $x (s)$ 之间的函数图象分别是图②中的抛物线 $C_{1} 、 C_{2}$ .已知抛物线 $C_{1}$ 经过点 $P (0 ， 2)$ ，顶点是 $Q (1 ， 7)$ ，抛物线 $C_{2}$ 经过 $M (1 ， 2)$ 和 $N (2 ， 5)$ 两点，两抛物线的开口大小相同.

(1)、分别求出 $y_{1} 、 y_{2}$ 与x之间的函数表达式.

(2)、在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中.
①当x的值为 ▲ 时，两小球到地面的距离相等；

②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？

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27. 如图，E是边长为4的正方形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点， $B E$ 长为1.点F从点B开始，在正方形的边上，沿着 $B - A - D - C$ 方向运动，到达点C后停止运动.点A关于直线 $E F$ 的对称点为 $A^{'}$ .

(1)、【从“点”开始】
求点 $A^{'}$ 与点D的最小距离和最大距离.

(2)、【由“点”到“线”】
当直线 $A^{'} D$ 与点 $A^{'}$ 的轨迹（即点 $A^{'}$ 运动形成的图形）有且只有1个公共点时， $D A^{'}$ 的长是.

(3)、【拓“线”成“形”】
在点F经过点A后至点F到达点C前的过程中，当点 $A^{'}$ 恰好落在正方形 $A B C D$ 的边所在直线上时，直接写出此时点F运动的路程.

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