江苏省南京鼓楼区2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-09-18 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 比-3小2的数是（）

A、-5 B、-1 C、1 D、5

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2. 下列计算中，结果正确的是（）

A、 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{6} = 2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} \div \sqrt{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{3} - \sqrt{6} = - \sqrt{3}$

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3. 如果一个多边形的每个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（）

A、5 B、6 C、10 D、12

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4. 在平面直角坐标系中，将一次函数 $y = 2 x + 1$ 的图象向左平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是（）

A、 $y = 2 x + 2$ B、 $y = 2 x + 3$ C、 $y = 2 x$ D、 $y = 2 x - 1$

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5. 正比例函数 $y_{1} = k_{1} x$ 和反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象如图所示，交点 $A$ 的坐标是 $(1 ， 4)$ ，那么当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 1$ B、 $x < 1$ C、 $- 1 < x < 1$ D、 $- 1 < x < 0$ 或 $x > 1$

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6. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $A B = 4$ ，点 $P$ 从 $C$ 点出发，沿 $C B$ 运动到点 $B$ 停止，过点 $B$ 作射线 $A P$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，点 $Q$ 运动的路径长为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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二、填空题

7. 如果反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(- 3 ， 2)$ 那么也经过点（ $- 2$ ，）.

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8. 若8的平方根和立方根分别是 $a$ 和 $b$ ，则 $a b =$ .

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9. 若 $a^{2} - a - 1 = 0$ ，则代数式 $a (a - 1) (a + 1) - a$ 的值是.

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10. 若式子 $\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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11. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 8$ ，顺次连接 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 的中点得到四边形 $E F G H$ ，那么四边形 $E F G H$ 的面积为.

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12. 若一组数据2，3，4，5， $x$ 的方差是2，那么 $x$ 的值为.

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13. 将一副三角板如图摆放，则 $∠ 1 =$ °.

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14. 如图是四个全等的正八边形和一个正方形拼成的图案，已知正方形的面积为4，则一个正八边形的面积为.

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 130 °$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ，在 $B C$ 、 $C D$ 上分别取一点 $M$ 、 $N$ ，使 $△ A M N$ 的周长最小，则 $∠ A M N + ∠ A N M =$ °.

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三、解答题

16. 解不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 (x - 1) \geq 1 \\ \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} < 1 \end{array}$ ，并写出它的整数解.

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17. 某同学解方程 $\frac{x - 2}{x - 3} - 2 = \frac{3 x - 10}{3 - x}$ ，过程如下：
第一步：整理，得 $\frac{x - 2}{x - 3} - 2 = - \frac{3 x - 10}{x - 3}$ ，

第二步：……

(1)、请你说明第一步变化过程的依据是：；

(2)、请把以上解方程的过程补充完整.

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18. 某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其中有两箱储存 $A$ 厂家的疫苗，另两箱分别储存 $B$ 厂家和 $C$ 厂家的疫苗.

(1)、如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，求拿出的两个冷藏箱里有 $A$ 厂家疫苗的概率；

(2)、如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好拿到 $A$ 厂家疫苗的概率是.

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19. 某学校七、八、九年级分别有1000、1200和1400名学生，为了了解学生对校服的满意度，随机抽取七、八年级各100名学生，九年级200名学生，进行综合评价（打分为整数，满分100分），下面给出了一些信息.

信息一：七年级打分成绩的频数分布表：

分组	$50 \leq x < 60$	$60 \leq x < 70$	$70 \leq x < 80$	$80 \leq x < 90$	$90 \leq x < 100$
人数	6	16	18	28	32

信息二：七年级学生打分在 $80 \leq x < 90$ 这一组的分数统计表：

分数	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
人数	2	3	1	0	2	2	6	2	7	3

信息三：九年级学生打分的统计表：

分数	62	63	64	66	67	68	69	71	72	73	74	76	77	78
人数	1	2	1	2	3	1	4	4	3	9	1	1	3	3
分数	80	81	82	83	84	86	88	89	90	92	93	95	96	98
人数	5	17	9	15	20	18	16	12	20	10	4	5	5	6

信息四：三个年级打分成绩的平均数、中位数、众数如下表：

年级	平均数	中位数	众数
七年级	82	$a$	88
八年级	86	84.5	86
九年级	84	$b$	$c$

(1)、表中

a =

；

b =

；

c =

；

(2)、此次调查中，满意度较高的是哪一个年级，请说明理由；

(3)、如果全校3600名学生全部参与打分，你估计打分在85分以上（含85分）的约有多少人？

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20. 已知 $△ A B C$ ， $A B = A C$ .按下列要求用直尺和圆规作图.（保留作图痕迹，不写作法）

(1)、在图①中求作一点 $P$ ，使 $∠ B P C = ∠ B A C$ ，且 $A$ 、 $P$ 在直线 $B C$ 异侧；

(2)、在图②中求作一点 $P$ ，使 $∠ B P C = ∠ B A C$ ，且 $A$ 、 $P$ 在直线 $B C$ 同侧.

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21. 小明写完作业后到图书馆找妈妈一起看书.小明从家出发，走了一段路程后突然发现钥匙与图书证忘带，立即打电话给妈妈（打电话时间忽略不计）.妈妈立即骑车从图书馆出发，回家取相关证件并停留片刻后按原速度原路返回.两人距图书馆的路程 $y$ （米）与妈妈出发的时间 $x$ （分钟）之间的函数关系如图所示.
（注：小明和妈妈始终沿同一条直道行进）

(1)、小明的速度是米/分，妈妈在家停留了分钟.

(2)、当 $x$ 为何值时，两人相距 $2100 m$ .

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22. 如图①， $A B$ 、 $C D$ 是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔.小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点 $E$ 处测得铁塔顶端 $A$ 的仰角为39°，铁塔顶端 $C$ 的仰角为27°，沿着 $E B$ 向前走20米到达点 $F$ 处，测得铁塔顶端 $A$ 的仰角为53°.已知 $∠ A B E = ∠ C D E = 90 °$ ，点 $E$ 、 $B$ 、 $D$ 构成的 $△ E B D$ 中， $∠ E B D = 90 °$ .

（参考数据： $\sin 39 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 39 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 39 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\sin 27 ° \approx \frac{9}{20}$ ， $\cos 27 ° \approx \frac{9}{10}$ ， $\tan 27 ° \approx \frac{1}{2}$ ， $\sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ）

(1)、图②是图①中的一部分，求铁塔 $A B$ 的高度；

(2)、小明说，在点 $E$ 处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔 $C D$ 的高度，那么可以测量的角是，若将这个角记为 $α$ ，则铁塔 $C D$ 的高度是；（用含 $α$ 的式子表示）

(3)、小丽说，除了在点 $E$ 处测量角的度数外，还可以在点 $F$ 处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔 $C D$ 的高度，那么可以测量的线段是.（请写出两个不同的答案，可用文字描述）

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23. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(x - 1) (x - 2) = m + 1$ （ $m$ 为常数）.

(1)、若它的一个实数根是方程 $2 (x - 1) - 4 = 0$ 的根，则 $m =$ ，方程的另一个根为；

(2)、若它的一个实数根是关于 $x$ 的方程 $2 (x - m) - 4 = 0$ 的根，求 $m$ 的值；

(3)、若它的一个实数根是关于 $x$ 的方程 $2 (x - n) - 4 = 0$ 的根，求 $m + n$ 的最小值.

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24. 已知二次函数 $y = - m x^{2} - 4 m x - 4 m + 4$ （ $m$ 为常数，且 $m > 0$ ）.

(1)、求二次函数的顶点坐标；

(2)、设该二次函数图象上两点 $A (a ， y_{a})$ 、 $B (a + 2 ， y_{b})$ ，点 $A$ 和点 $B$ 间（含点 $A$ 、 $B$ ）的图象上有一点 $C$ ，将点 $C$ 纵坐标的最大值和最小值的差记为 $h$ .
①当 $m = 1$ 时，若点 $A$ 和点 $B$ 关于二次函数对称轴对称，求 $h$ 的值；

②若存在点 $A$ 和点 $B$ 使得 $h$ 的值是4，则 $m$ 的取值范围是 ▲ .

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25. 如图①， $A$ 是 $⊙ O$ 外一点， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ， $A O$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $B D // A C$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $D O$ ，并延长 $D O$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ .已知 $B D = 2$ ， $⊙ O$ 的半径为3.

(1)、求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求 $A E$ 的长；

(3)、如图②，若点 $M$ 是 $⊙ O$ 上一点，且 $B M = 3$ ，过 $A$ 作 $A N // B M$ ，交弧 $M E$ 于点 $N$ ，连接 $M E$ ，交 $A N$ 于点 $G$ ，连接 $O G$ ，则 $O G$ 的长度是.

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26. 学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程.
（定义）四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形.

(1)、（初步思考）
小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件.他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例.所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究.

(2)、（深入探究）
学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明.

已知：四边形 $A B C D$ 和四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{C D}{C^{'} D^{'}} = \frac{A D}{A^{'} D^{'}}$ ， $∠ A = ∠ A^{'}$ .

求证：四边形 $A B C D ∽$ 四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .证明：

(3)、对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；

②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；

③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；

④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”.

其中真命题是.（填写所有真命题的序号）

(4)、请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程.

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