山东省新高考质量测评联盟2020-2021学年高二上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2021-09-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 点 $A (2 ， - 1 ， 3)$ 关于 $x O y$ 平面的对称点为（）

A、 $A (2 ， - 1 ， - 3)$ B、 $(2 ， 1 ， 3)$ C、 $(- 2 ， 1 ， 3)$ D、 $(- 2 ， - 1 ， 3)$

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2. 已知直线 $l$ 的方程为 $\sqrt{3} x + y - 5 = 0$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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3. 已知 $l$ ， $m$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $l // m$ ， $m // α$ ，则 $l // α$ B、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ，则 $m // β$ C、若 $l ⊥ m$ ， $m \subset α$ ， $α // β$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = l$ ， $m ⊥ l$ ，则 $m ⊥ β$

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4. 山东省高考改革后实施选科走班制度，小明需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合，物理和历史不能同时选择，则小明不同的选科情况有（）

A、14种 B、16种 C、18种 D、20种

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5. 直线 $l$ 过点 $M (2 ， 1)$ 且与椭圆 $x^{2} + 4 y^{2} = 16$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若点 $M$ 为弦 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-1 D、1

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6. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $O_{1}$ 是 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，则 $\vec{| A O_{1} |} =$ （）

A、 $\frac{11}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{22}}{2}$ C、 $\frac{13}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{26}}{2}$

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7. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = \sqrt{2} B B_{1}$ ， $∠ A B C = 120 °$ ． $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则直线 $B M$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成的角为（）

A、15° B、30° C、45° D、60°

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8. 青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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二、多选题

9. 已知曲线C： $\frac{x^{2}}{m^{2} + 2} + \frac{y^{2}}{m} = 1 (m \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $m < 0$ ，则曲线C表示双曲线 B、曲线C可能表示一个圆 C、若曲线C是椭圆，则其长轴长为 $2 \sqrt{m}$ D、若 $m = 1$ ，则曲线C中过焦点的最短弦长为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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10. 已知曲线 $C$ 上任意一点到直线 $x = - 4$ 的距离比它到点 $F (2 ， 0)$ 的距离大2，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 8 x$ B、若曲线 $C$ 上的一点 $A$ 到点 $F$ 的距离为4，则点 $A$ 的纵坐标是 $\pm 4$ C、已知曲线 $C$ 上的两点 $M$ ， $N$ 到点 $F$ 的距离之和为10，则线段 $M N$ 的中点横坐标是5 D、已知 $A (3 ， 2)$ ， $P$ 是曲线 $C$ 上的动点，则 $| P A | + | P F |$ 的最小值为5

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11. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $S A = A B = 2$ ，以 $A B$ 为直径的圆 $O$ 经过点 $C$ ， $∠ A O C = 60 °$ ，则下列结论正确的是（）

A、平面 $S A C ⊥$ 平面 $S B C$ B、三棱锥 $O - S B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、二面角 $S - O C - B$ 的正切值为 $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、三棱锥 $S - A B C$ 外接球的表面积为 $8 π$

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12. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点， $Q$ 是圆 $F_{2}$ ： ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 36$ 上一动点，线段 $F_{1} Q$ 的垂直平分线与直线 $Q F_{2}$ 的交点 $P$ 恰好在双曲线 $C$ 上，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{5}{3}$ C、焦点 $F_{2}$ 到双曲线 $C$ 的渐近线距离为4 D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆圆心的横坐标为3或 $- 3$

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三、填空题

13. 计算： $C_{7}^{5} - A_{4}^{2} =$ ．

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为

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15. 已知圆 $C_{1}$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | =$ ．

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16. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $M$ ， $N$ 分别为 $C D$ ， $D D_{1}$ 的中点，则平面 $B M N$ 截正方体所得的截面面积为；以点 $M$ 为球心， $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 为半径的球面与对角面 $B B_{1} D_{1} D$ 的交线长度为．

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四、解答题

17. 已知空间中三点 $A (1 ， 0 ， - 1)$ ， $B (2 ， 1 ， 1)$ ， $C (- 2 ， 0 ， 3)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求实数 $k$ 的值．

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18. 已知直线 $l$ ： $x - a y + 1 = 0$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求与直线 $l$ 平行的圆 $C$ 的切线方程．

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19. 从① $A B ⊥ B C$ ；②直线 $S C$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为60°；③ $△ A C D$ 为锐角三角形且三棱锥 $S - A C D$ 的体积为2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．
如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $S C$ 的中点．

(1)、求证：直线 $E F //$ 平面 $S A D$ ；

(2)、若 $S A = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ， ▲ ，求平面 $S B C$ 与平面 $S C D$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 如图，是一抛物线型拱门示意图，拱门边界线是抛物线的一部分，抛物线的轴为拱门的对称轴，拱门底部 $A B$ 宽8米，顶点 $O$ 距离地面6米．

(1)、以拱门顶点 $O$ 为原点，对称轴为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，求拱门边界线所在抛物线的方程；

(2)、节日期间需要在拱门对称轴上离地面4米处悬挂一节日灯笼，如图，用两根对称的牵引绳固定，求其中一根牵引绳长度的最小值．（灯笼看作点 $P$ ）

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21. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，平面 $A B E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $A B \underline{\underline{∥}} E F$ ， $A F = \sqrt{2} B F = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $C D ⊥ B F$ ；

(2)、在线段 $C E$ 上是否存在点 $M$ ，使得点 $M$ 到平面 $B D F$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{C M}{C E}$ 的值；若不存在，说明理由．

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22. 已知 $F (1 ， 0)$ 为椭圆 $C$ 的一个焦点， $B$ 为椭圆 $C$ 与 $y$ 轴正半轴的交点，椭圆 $C$ 上的点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O F} + \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O B}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，若以 $P Q$ 为直径的圆经过原点，求证：原点到直线 $l$ 的距离为定值．

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