宁夏贺兰县景博中学2020-2021学年高二上学期理数第二次月考试卷

试卷更新日期：2021-09-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设复数 $z = \frac{1 - i}{i} + 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 复数 $z$ 满足 $2 z + | z | = 2 i$ ，则 $z$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 命题“若 $x^{2} < 4$ ，则 $- 2 < x < 2$ ”的逆否命题是（）

A、若 $x^{2} \geq 4$ ，则 $x \geq 2$ 或 $x \leq - 2$ B、若 $- 2 < x < 2$ ，则 $x^{2} < 4$ C、若 $x > 2$ 或 $x < - 2$ ，则 $x^{2} > 4$ D、若 $x \geq 2$ 或 $x \leq - 2$ ，则 $x^{2} \geq 4$

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4. 如果方程 $\frac{x^{2}}{4 - m} + \frac{y^{2}}{m - 3} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的取值范围是

A、 $3 < m < 4$ B、 $m > \frac{7}{2}$ C、 $3 < m < \frac{7}{2}$ D、 $\frac{7}{2} < m < 4$

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5. $l_{1}$ 的方向向量为 $\overset{⇀}{v_{1}} = (1 ， 2 ， 3)$ ， $l_{2}$ 的方向向量 $\overset{⇀}{v_{2}} = (λ ， 4 ， 6)$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $λ$ 等于（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知命题 $p ： \exists x_{0} \in R ， x_{0} > 2$ ；命题 $q ： \forall x > 0 ， \sqrt{x} < x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $p \lor q$ 是假命题 B、 $p \land q$ 是真命题 C、 $p \land (\neg q)$ 是真命题 D、 $p \lor (\neg q)$ 是假命题

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7. 设双曲线 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 的一个焦点与抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点相同，离心率为2，则此双曲线的方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{12} = 1$ B、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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8. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $M$ ．设 $\overset{⇀}{A_{1} B_{1}} = \overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{A_{1} D_{1}} = \overset{⇀}{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $2 \vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c}$ D、 $- \vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c}$

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9. 长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AA₁＝2，AD＝1，E为CC₁的中点，则异面直线BC₁与 $A_{1} E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{30}$ D、 $- \frac{\sqrt{30}}{30}$

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10. 如图，已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则直线 $A E$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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11. 已知曲线 $x^{2} - 4 y^{2} = 4$ ，过点 $A (3 ， 1)$ 且被点 $A$ 平分的弦 $M N$ 所在的直线方程为（）

A、 $3 x - 4 y - 5 = 0$ B、 $3 x + 4 y - 5 = 0$ C、 $4 x - 3 y - 5 = 0$ D、 $4 x + 3 y - 5 = 0$

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12. 从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆 $O$ ，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 $O$ 的交点将圆的周长八等分，且 $A B = B O = O C = C D$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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二、填空题

13. 已知 $z_{1} = a + 3 i$ ， $z_{2} = 2 + b i$ ， $(a ， b \in R)$ 且 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 为共轭复数，则 $a b =$ .

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14. 已知复数 $z = (a^{2} - 4) + 3 i$ ， $a \in R$ ，则“ $a = 2$ ”是“z为纯虚数”的条件.（填写“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中的一个）

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15. 以 $y = \pm x$ 为渐近线且经过点 $(2 ， 0)$ 的双曲线方程为．

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16. 给出下列命题：
①直线l的方向向量为 $\vec{a}$ =（1，﹣1，2），直线m的方向向量 $\vec{b}$ =（2，1，﹣ $\frac{1}{2}$ ），则l与m垂直；

②直线l的方向向量 $\vec{a}$ =（0，1，﹣1），平面α的法向量 $\vec{n}$ =（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；

③平面α、β的法向量分别为 $\overset{⇀}{n_{1}}$ =（0，1，3）， $\overset{⇀}{n_{2}}$ =（1，0，2），则α∥β；

④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量 $\vec{n}$ =（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1.

其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）

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三、解答题

17. 已知 $p$ ： $A = {x | x^{2} - 5 x + 6 \leq 0}$ ， $q$ ： $B = {x | x^{2} - (a + a^{2}) x + a^{3} \leq 0 ， a > 1}$ ，

(1)、若 $a = 2$ 求集合 $B$ ；

(2)、如果 $q$ 是 $p$ 的必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2 ， E$ 为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $C E ⊥$ 平面 $B_{1} C_{1} E$ ．

(2)、求二面角 $B_{1} - C_{1} E - B$ 的余弦值．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D ， P A = A B = 4$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点， $F$ 为线段 $B C$ 上的点，且 $B F = \frac{1}{4} B C$ ．

(1)、求证：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $P C D$ 的距离．

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 焦点为 $F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0)$ 且过点 $(- 2, 3)$ ，椭圆上一点 $P$ 到两焦点 $F_{1}$ , $F_{2}$ 的距离之差为2，

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、求 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积.

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2}$ = $2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F (1 ， 0) ， O$ 为坐标原点， $A ， \begin{matrix} B \end{matrix}$ 是抛物线 $C$ 上异于 $O$ 的两点．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $O A ， \begin{matrix} O B \end{matrix}$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{3}$ ，求证：直线 $A B$ 过 $x$ 轴上一定点．

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22. 如图，斜棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B B_{1}$ 垂直底面 $A B C$ ，且 $∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $B B_{1}$ 的中点， $A A_{1} = A B = \sqrt{2} A C = \sqrt{2} B C$ .

(1)、证明： $B C_{1} //$ 平面 $A_{1} C D$ ；

(2)、求二面角 $D - A C - E$ 的余弦值.

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