江西省南昌市新建一中2020-2021学年高二上学期理数第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-09-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线 $l ： x - \sqrt{3} y + 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 的对边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ， $B = 45^{\circ} ， C = 60^{\circ} ， c = 1 ，$ 则 $b =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 在平面直角坐标系中，不等式组 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 \\ x - y + 2 > 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ 表示的平面区域的面积是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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4. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 的对边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ， $a = 18 ， c = 20 ， B = 30 °$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、180 B、90 C、 $90 \sqrt{3}$ D、 $60 \sqrt{3}$

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5. 已知两条直线 $l_{1} ： x + m y + 6 = 0 ， l_{2} ： (m - 2) x + 3 y + 2 m = 0$ ，若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行，则实数 $m =$ （）

A、-1 B、3 C、-1或3 D、±3

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6. 已知直线 $l$ 的方程为 $(2 + λ) x + (3 - 2 λ) y - 7 = 0$ ， $⊙ M$ 的方程 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ ，则直线 $l$ 与 $⊙ M$ 的位置关系为（）

A、相切 B、相交 C、相离 D、不确定

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7. 一束光线从点 $M (5 ， 3)$ 射出，经 $x$ 轴后反射后的光线经过点 $N (7 ， 3)$ ，则反射光线所在的直线方程为（）

A、 $y = 3 x - 18$ B、 $y = - 3 x - 12$ C、 $y = 3 x + 12$ D、 $y = - 3 x + 18$

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8. 圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 与圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ 的公切线有（）条．

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 过点 $P (2 ， 5)$ 且与在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（）

A、 $5 x - 2 y = 0$ B、 $x - y + 3 = 0$ C、 $5 x - 2 y = 0$ 或 $x + y - 7 = 0$ D、 $5 x - 2 y = 0$ 或 $x - y + 3 = 0$

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10. 在 $△ A B C$ 中的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）．

A、 $b = 10$ ， $A = 45 °$ ， $C = 70 °$ B、 $a = 60$ ， $c = 48$ ， $B = 60 °$ C、 $a = 7$ ， $b = 5$ ， $A = 80 °$ D、 $a = 14$ ， $b = 16$ ， $A = 45 °$

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11. 已知 $⊙ C$ 的方程为 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$ ，且过点 $P (1 ， 0)$ 的最长的弦为 $A B$ ，最短的弦为 $D E$ ，则四边形 $A B D E$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{6}$ B、16 C、32 D、12

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 的对边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ，若 $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B}$ 且 $\sin^{2} A (2 - \cos C) = \frac{3}{2} - {sin}^{2} B$ ，则这个三角形为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、正三角形

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二、填空题

13. 若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ ，则 $\frac{c + 2}{a}$ 的值为．

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14. 若关于 $x$ ， $y$ 的方程 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y + m = 0$ 表示一个圆，则实数 $m$ 的取值范围为．

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15. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ ，则 $\frac{2 y}{x + 1}$ 的取值范围为．

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16. 若锐角 $△ A B C$ 内角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 的对边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ， $\sin 2 A + \sin (A - B + C) = \sin (C - A - B) + \frac{1}{2}$ ，面积 $S$ 满足 $1 \leq S \leq 2$ ，则 $a b c$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知 $A (1 ， 2)$ ，直线 $l$ 经过直线 $2 x + y - 5 = 0$ 与直线 $x - 2 y = 0$ 的交点 $P$ ．

(1)、若直线 $l$ 与直线 $3 x + 2 y + 5 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的方程；

(2)、当点 $A$ 到直线 $l$ 的距离最大时，求直线 $l$ 的方程．

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D ⊥ C D ， A D = 10 ， A B = 14 ， \cos ∠ B A D = \frac{1}{7} ， ∠ C B D = 15^{°}$ ．

求：

(1)、 $∠ A D B$ ；

(2)、 $B C$ 的长．

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19. 已知直线 $l_{1} ： 3 x - y - 1 = 0$ 及点 $A (1 ， 7)$ 和 $B (0 ， 4)$ ， $Q$ 为 $l_{1}$ 上一动点．

(1)、求 $| A Q | + | B Q |$ 的最小值并求出此时点 $Q$ 的坐标；

(2)、在（1）的条件下，直线 $l_{2}$ 经过点 $Q$ 且与 $x$ 轴､ $y$ 轴分别交于 $C$ ､ $D$ 两点，当直线 $l_{2}$ 与两坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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20. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l ： (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ ， $(m \in R)$ ．

(1)、证明：不论 $m$ 取什么实数，直线 $l$ 与圆恒交于两点；

(2)、求直线被圆 $C$ 截得的弦长最小时 $l$ 的方程．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中，点 $A (0 ， 3)$ ，直线 $l ： y = 2 x - 4$ ，设圆 $C$ 的半径为1，圆心在 $l$ 上.

(1)、若圆心 $C$ 也在直线 $y = x - 1$ 上，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，求切线方程；

(2)、若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $M A = 2 M O$ ，求圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的取值范围.

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22. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ､ B ､ C$ 所过的边分别为 $a ､ b ､ c$ ，且 $2 c^{2} = (2 a - b) a + (2 b - a) b$ ， $c = \sqrt{3}$ ．

(1)、求面积 $S$ 的最大值；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求周长 $C_{0}$ 的取值范围．

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