江西省赣州市会昌县第五中学2020-2021学年高二上学期理数第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-09-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 和直线 $l$ 都平行的直线 $a ， b$ 的位置关系是（　　）

A、相交 B、异面 C、平行 D、平行、相交或异面

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2. 已知点 $A (1 ， - 2 ， - 1)$ 、 $B (2 ， - 2 ， - 1)$ ，点 $A$ 关于 $z$ 轴对称的点为 $M$ ，则 $| B M | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、5 C、3 D、4

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3. 点 $M (3 ， 4 ， 1)$ 到点 $N (0 ， 0 ， 1)$ 的距离是（）

A、5 B、0 C、3 D、1

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4. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1}$ ，则异面直线 $B A_{1}$ 与 $A C_{1}$ 所成的角等于（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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5. 圆锥的轴截面是边长为 $2$ 的正三角形，则圆锥的表面积为（）

A、 $(\sqrt{3} + 1) π$ B、 $4 π$ C、 $3 π$ D、 $5 π$

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6. 已知直线 $m$ 、 $n$ ，平面 $α$ 、 $β$ ，给出下列命题：
①若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，且 $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ ②若 $m // α$ ， $n // β$ ，且 $m / / n$ ，则 $α // β$

③若 $m ⊥ α$ ， $n // β$ ，且 $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ ④若 $m ⊥ α$ ， $n // β$ ，且 $m / / n$ ，则 $α // β$

其中正确的命题是

A、①③ B、②④ C、③④ D、①

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7. 设 $α$ 、 $β$ 是两个平面， $a$ 、 $b$ 是两条直线，下列推理正确的是（　　）

A、 $\begin{array}{l} a ∥ b \\ b ∥ α \end{array}} \Rightarrow a ∥ α$ B、 $\begin{array}{l} a \subset α \\ a ∥ β \\ α \cap β = b \end{array}} \Rightarrow a ∥ b$ C、 $\begin{array}{l} a \subset α \\ b \subset β \\ α ∥ β \end{array}} \Rightarrow a ∥ b$ D、 $\begin{array}{l} a \subset α \\ b \subset β \\ a ∥ b \end{array}} \Rightarrow α ∥ β$

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8. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sin A ： \sin B ： \sin C = 3 ： 5 ： 7$ ，那么这个三角形最大角的度数是（）

A、 $135 °$ B、 $90 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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9. 如图，某三棱锥的三视图都是直角边为 $\sqrt{2}$ 的等腰直角三角形，则该三棱锥的表面积是（）

A、6 B、 $6 + \sqrt{3}$ C、3 D、 $3 + \sqrt{3}$

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10. 若长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，则这个球面的面积为（）

A、9π B、12π C、14π D、18π

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11. 已知四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是边长为2的正方形， $S A ⊥ 平面 A B C D ，且 S A = A B$ ，则四棱锥 $S - A B C D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $9 π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $12 π$ D、 $10 π$

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12. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ，若二面角 $C - A B - C_{1}$ 的大小为 $60^{°}$ ，则点C到平面 $C_{1} A B$ 的距离为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

13. △ $A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $b sin C + c sin B = 4 a sin B sin C$ ， $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 8$ ，则△ $A B C$ 的面积为．

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14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边为 $a ， b ， c$ ，若 $\cos A = \frac{4}{5}$ ，且边 $c = 5$ ， $a = \sqrt{10}$ ，则边 $b =$ .

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15. 有一多边形 $A B C D$ 水平放置的斜二测直观图 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是直角梯形（如图所示），其中 $A^{'} B^{'} C^{'} = 45 °$ ， $B^{'} C^{'} ⊥ C^{'} D^{'}$ ， $A^{'} D^{'} = D^{'} C^{'} = 1$ ，则原四边形 $A B C D$ 的面积为．

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16. 当 $x > 2$ 时， $4 x + \frac{1}{x - 2}$ 的最小值是.

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三、解答题

17. 如图所示，A₁A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A₁A=AB=2.求证：BC⊥平面A₁AC．

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18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = 2 n^{2} + 2 n$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是等差数列；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $\frac{\cos A - 2 \cos C}{\cos B} = \frac{2 c - a}{b}$

(1)、求 $\frac{\sin C}{\sin A}$ 的值

(2)、若 $\cos B = \frac{1}{4} ， b = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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20. 如图为一简单组合体，其底面 $A B C D$ 为正方形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E C // P D$ ，且 $P D = A D = 2 E C = 2$ .

(1)、求四棱锥 $B － C E P D$ 的体积；

(2)、求证： $B E //$ 平面 $P D A$ .

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21. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍，P为侧棱SD上的点.

(1)、求证：AC⊥SD；

(2)、若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小.

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22. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是边长为 $2$ 的菱形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P A B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为45°， $E$ 是 $P B$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求异面直线 $D E$ 与 $P A$ 所成角的余弦值；

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