湖南省部分重点学校2020-2021学年高二上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2021-09-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 4}$ ， $B = {x | x \geq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 4}$ B、 ${x ∣ 2 \leq x < 4}$ C、 ${x ∣ - 2 \leq x < 2}$ D、 ${x ∣ 2 < x < 4}$

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2. 已知命题P： $\forall x \in Q$ ， $x \in R$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x \in Q$ ， $x \in R$ B、 $\exists x \in Q$ ， $x \notin R$ C、 $\forall x \notin Q$ ， $x \notin R$ D、 $\exists x \notin Q$ ， $x \notin R$

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3. 函数 $f (x) = x^{2} - e^{x}$ 的图象在点(0，f (0))处的切线方程为（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $x - y + 1 = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $x + y + 1 = 0$

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4. 函数 $y = \sqrt{- \frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{6} x + \frac{1}{2}}$ 的定义域为（）

A、[- $\frac{3}{2}$ ，1] B、[-1， $\frac{3}{2}$ ] C、(-∞，- $\frac{3}{2}$ ]∪[1，+∞) D、(-∞，-1]∪[ $\frac{3}{2}$ ，+∞)

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5. 2020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在 $[30 ， 55]$ 内，按通行时间分为 $[30 ， 35)$ ， $[35 ， 40)$ ， $[40 ， 45)$ ， $[45 ， 50)$ ， $[50 ， 55]$ 五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在 $[30 ， 35)$ 内的车辆有235台，则通行时间在 $[45 ， 50)$ 内的车辆台数是（）

A、450 B、325 C、470 D、500

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6. 函数 $y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{10^{| x |}}$ 品的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. “ $α = 2 k π (k \in Z)$ ”是“ $\sin 2 α = 2 \sin α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f^{'} (x)$ 是其导函数，若 $f (x) + f^{'} (x) < 0$ ， $f (0) = 1$ ，则不等式 $f (x) > e^{- x}$ 的解集是（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、（0，1）

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二、多选题

9. 已知平面向址 $\vec{a}$ =(2，m)， $\vec{b}$ =(1，- $\sqrt{2}$ ），且 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = | 2 \vec{a} + \vec{b} |$ ，则（）

A、 $m = \sqrt{2}$ B、m=2 C、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 3$ D、 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} + f (0) \cdot x - f^{'} (0) \cdot \cos x + 2$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f^{'} (0) = 1$ C、 $f (0) = 1$ D、 $f^{'} (0) = - 1$

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11. 已知点 $P (1 ， - 1)$ 是角 $α$ 终边上的一点，则（）

A、函数 $f (x) = \sin (2 x + α)$ 的对称轴方程为 $x = \frac{3 π}{8} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ B、函数 $f (x) = \sin (2 x + α)$ 的对称轴方程为 $x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ C、函数 $g (x) = \cos (3 x + α + \frac{5 π}{4})$ 是奇函数 D、函数 $g (x) = \cos (3 x + α + \frac{5 π}{4})$ 是偶函数

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12. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)与直线y=kx交于A，B两点，点P为C上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为k_PA ， k_PB ， C的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ．若k_PA•k_PB= $\frac{1}{4}$ ，且C的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（）

A、a=2 B、C的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、若PF₁⊥PF₂ ，则 $△$ PF₁F₂的面积为2 D、若 $△$ PF₁F₂的面积为 $2 \sqrt{5}$ ，则 $△$ PF₁F₂为钝角三角形

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三、填空题

13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左焦点的坐标为．

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14. 若 $m > 0$ ， $n > 0$ ， $m + n = 3 m n - 1$ ，则 $m + n$ 的最小值为

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15. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} - a x$ 的一个极值点为1，则 $f (x)$ 在[-2，2]上的最小值为．

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16. 有两个质地均匀的正方体玩具，每个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，…，6．随机抛掷两个这样的正方体玩具，得到面朝上的两个数字，则这两个数字的乘积能被3整除的概率为．

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四、解答题

17. 在① $a + b = 1 + \sqrt{3}$ ，② $c \sin A = 2$ ，③ $3 b = \frac{\sqrt{3}}{3} c$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求 $c$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， ▲ ，且 $s i n B = \sqrt{3} \sin A$ ， $C = \frac{π}{6}$ ？

注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} = \frac{S_{n} + 1}{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $2 a_{n} = \frac{b_{n}}{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形， $∠ A D P = 90 °$ ， $P D = A D$ ，二面角 $P - A D - B$ 为60°，E为PD的中点．

(1)、证明： $C E ⊥$ 平面PAD．

(2)、求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \cos x - a x$ ．

(1)、当a=2时，证明： $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减．

(2)、若对任意x≥0， $f (x) \geq x - \cos x$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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21. 已知圆 $M ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，动圆P与圆M外切，且与直线 $y = - 1$ 相切．

(1)、求动圆圆心P的轨迹C的方程．

(2)、若直线 $l ： y = k x + 2$ 与曲线C交于A，B两点，分别过A，B作曲线C的切线，交于点Q．证明：Q在一定直线上．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a \ln x}{x} + x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，判断 $f (x)$ 的单调性，并求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最值；

(2)、 $\exists x_{0} \in (0 ， e]$ ， $f (x_{0}) \leq a + 2$ ，求a的取值范围．

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