湖北省武汉市部分重点中学2020-2021学年高二上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2021-09-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 0)$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{8} ， 0)$ D、 $(0 ， \frac{1}{8})$

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2. 设 $a ， b \in R$ ，下列四个条件中，使 $a < b$ 成立的必要不充分条件是（）

A、 $a < b + 1$ B、 $a < b - 1$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $a^{3} < b^{3}$

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3. 若函数 $f (x) = x^{2} - k e^{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{8}{e} ， + \infty)$ B、 $[\frac{4}{e} ， + \infty)$ C、 $[\frac{2}{e} ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{e} ， + \infty)$

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4. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 1)$ 的右焦点为 $F (3 ， 0)$ ，过点 $F$ 的直线交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $A B$ 的中点坐标为 $(1 ， - 1)$ ，则 $E$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{27} + \frac{y^{2}}{18} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$

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5. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别是 $A B_{1} ， B C_{1}$ 的中点，则异面直线EF与 $C_{1} D$ 所成的角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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6. 已知抛物线 $y^{2} ＝ 8 x$ 的焦点到双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ － $\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，的渐近线的距离不大于 $\sqrt{3}$ ，则双曲线E的离心率的取值范围是(　　)

A、(1， $\sqrt{2}$ ] B、(1，2] C、[ $\sqrt{2}$ ，＋∞) D、[2，＋∞)

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7. 如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是（）

A、BC∥平面PDF B、DF⊥平面PAE C、平面PDF⊥平面PAE D、平面PDE⊥平面ABC

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8. 设函数 $f' (x)$ 是奇函数 $f (x)$ （ $x \in R$ ）的导函数， $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f' (x) - f (x) < 0$ ，则使得 $f (x) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， 0)$ D、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列命题是真命题的是（）

A、“函数 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 内 $f^{'} (x) > 0$ ”是“ $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 内单调递增”的充要条件 B、已知 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处存在导数，“则 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ”是“ $x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点”的必要不充分条件 C、若命题 $p ： \forall x \in R$ ， $\frac{1}{x - 2} < 0$ ，则命题 $p$ 的否定是： $\exists x \in R$ ， $\frac{1}{x - 2} \geq 0$ ， D、命题“ $\forall x \in R$ ， $\exists n \in N *$ ，使得 $n \geq 2 x ＋ 1$ ”的否定形式是“ $\exists x \in R$ ， $\forall n \in N *$ ，使得 $n < 2 x ＋ 1$ ”

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10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，其中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是 $60^{\circ}$ ，下列说法中正确的是（）

A、 ${(\vec{A A_{1}} + \vec{A B} + \vec{A D})}^{2} = 2 {(\vec{A C})}^{2}$ B、 $A_{1}$ 在底面 $A B C D$ 上的射影是线段 $B D$ 的中点 C、 $A A_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角大于 $45^{\circ}$ D、 $B D_{1}$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 存在两个不同的零点 B、函数 $f (x)$ 既存在极大值又存在极小值 C、当 $- e < k < 0$ 时，方程 $f (x) = k$ 有且只有两个实根 D、若 $x \in [t ， + \infty)$ 时， $f {(x)}_{\max} = \frac{5}{e^{2}}$ ，则 $t$ 的最小值为 $2$

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12. 关于圆锥曲线，有如下命题，其中错误的命题有（）

A、若 $a > b > 0$ ，则直线 $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 相交或相切； B、过圆锥曲线焦点的直线一定与该圆锥曲线相交； C、曲线 $C ： \sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} \cdot \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = 3$ 的图像关于原点对称 D、椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是椭圆上不重合四点，若直线 $A B$ ， $C D$ 交于椭圆内一点 $M$ ，则必有 $| M A | \cdot | M B | = | M C | \cdot | M D |$ ．

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三、填空题

13. 已知命题：“∃x∈{ x |1≤x ≤2}，使x²＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是．

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14. 过点 $(- 1 ， 1)$ 的直线 $l$ 与曲线 $f (x) = x^{3} - x^{2} - 2 x + 1$ 相切，且 $(- 1 ， 1)$ 不是切点，则直线 $l$ 的斜率为

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15. 如图， $P$ 为 $▱ A B C D$ 所在平面外一点， $E$ 为 $A D$ 的中点， $F$ 为 $P C$ 上一点，当 $P A / /$ 平面 $E B F$ 时， $\frac{P F}{F C} =$ .

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16. 已知曲线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ． $O$ 为原点， $A$ ， $B$ 是 $C$ 上两个不同点，且 $O A ⊥ O B$ ，则直线 $A B$ 过定点．

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四、解答题

17. 已知 $O A ， O B ， O C$ 两两垂直， $O A = O C = 3 ， O B = 2$ ， $M$ 为 $O B$ 的中点，点 $N$ 在 $A C$ 上， $A N = 2 N C$ .

（Ⅰ）求 $M N$ 的长；

（Ⅱ）若点 $P$ 在线段 $B C$ 上，设 $\frac{B P}{P C} = λ$ ，当 $A P ⊥ M N$ 时，求实数 $λ$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x} - \ln x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最大值和最小值（其中 $e$ 是自然对数的底数）.

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19. 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相切的两条垂直切线的交点轨迹为一个圆，该圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，这个圆被称为蒙日圆，已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点是椭圆 $C$ 的一个短轴端点，且椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程和它的“蒙日圆” $E$ 的方程；

(2)、若斜率为1的直线 $l$ 与“蒙日圆” $E$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且与椭圆 $C$ 相切， $O$ 为坐标原点，求 $△ O A B$ 的面积．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + a x$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的最小值；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，对 $\forall x_{1} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ， $\exists x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，使 $f^{'} (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE= $\sqrt{2}$ ．

(1)、求证：DE⊥AC；

(2)、求DE与平面BEC所成角的正弦值；

(3)、直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．

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22. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点是双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的顶点，且椭圆 $C_{1}$ 的上顶点到双曲线 $C_{2}$ 的渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相交于 $M_{1} ， M_{2}$ 两点，与 $C_{2}$ 相交于 $Q_{1} ， Q_{2}$ 两点，且 $\overset{⇀}{O Q_{1}} \cdot \overset{⇀}{O Q_{2}} = - 5$ ，求 $| M_{1} M_{2} |$ 的取值范围.

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