高中数学人教A版（2019）选修三第六章计数原理

试卷更新日期：2021-09-18 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 将3个黑球、3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（）

A、14种 B、15种 C、16种 D、18种

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2. 在 ${(x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、-5 B、5 C、-10 D、10

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3. 某中学为了发挥青年志原者的模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动.该校决定成立一个含有甲､乙两人的4人青年志愿者社区服务团队，现把4人分配到 $A$ 和 $B$ 两个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲､乙两人不同在一个社区的分配方案种类有（）

A、4 B、8 C、10 D、12

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4. 从包含甲在内的5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（）

A、48 B、72 C、90 D、96

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5. 现有3双不同的鞋子，从中随机取出2只，则取出的鞋都是左脚的概率是（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{5}$

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6. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三3学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）

A、60种 B、78种 C、84种 D、144种

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7. $4$ 名同学参加 $3$ 个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是（）

A、 $3^{4}$ B、 $4^{3}$ C、 $12$ D、 $24$

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8. 在 ${(\frac{x}{2} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（）

A、 $\frac{55}{2}$ B、 $- \frac{55}{2}$ C、 $- 28$ D、28

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二、多选题

9. A、B、C、D、E、F六个人并排站在一起，则下列说法正确的有（）

A、若A，B两人相邻，则有120种不同的排法 B、若A，B不相邻，则共有480种不同的排法 C、若A在B左边（可以不相邻），则有360种不同的排法 D、若A不站在最左边，B不站最右边，则有504种不同的排法

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10. 对于式子 ${(3 x - 1)}^{6}$ ，下列说法正确的有（）

A、它的展开式中第4项的系数等于135 B、它的展开式中第3项的二项式系数为20 C、它的展开式中所有项系数之和为64 D、它的展开式中第一项的系数为 $3^{6}$

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11. 在 ${(\frac{1}{x} - x)}^{6}$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A、常数项是20 B、第4项的二项式系数最大 C、第3项是 $15 x^{2}$ D、所有项的系数的和为0

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12. 已知 ${(x - 1)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{8} = 1$ C、 $a_{3} = - 56$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{8}}{2^{8}} = \frac{255}{256}$

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三、填空题

13. 新型冠状病毒疫情期间，4位志愿者需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，总共有种不同安排方法．（用数字作答）

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14. $y^{2} {(x - y)}^{8}$ 的展开式中 $x^{5} y^{5}$ 的系数为．

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15. 已知 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 的展开式的二项式系数之和为16，则各项系数之和为．（用数字作答）

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16. 已知 ${(x^{2} - 1)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{16} x^{16}$ ，则 $a_{4} + a_{5} =$ .

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四、解答题

17. 已知 $n \cdot C_{n}^{n - 3} + A_{n}^{3} = 4 \cdot C_{n + 1}^{3}$ $(n ⩾ 3 ， n \in N)$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{2}{x})}^{n}$ 展开式中的常数项.

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18. 用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的自然数.

(1)、在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

(2)、在组成的四位数中，求大于2000的自然数个数；

(3)、在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.

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19. 将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，

(1)、若每个盒子放一个小球，求有多少种放法;

(2)、若每个盒子放一球，求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数；

(3)、求恰有一个空盒子的放法种数．

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20. 在 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt[4]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前3项的二项式系数的和为22．

(1)、求 $n$ 的值及展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中的有理项．

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21. 已知 ${(1 + 2 x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} +$ $a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ．

(1)、求 $a_{2}$ ；

(2)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} +$ … $+ a_{8}$ ；

(3)、求 $a_{0} + a_{2} + a_{4} +$ … $+ a_{8}$ ．

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22. 已知二项式 ${(1 - 2 x)}^{n}$ ，若选条件（填写序号），

(1)、求展开式中含 $x^{3}$ 的项；

(2)、设 ${(1 - 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，求展开式中奇次项的系数和．
请在：①只有第4项的二项式系数最大；②第2项与第6项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为64

这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的线上，并完成解答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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高中数学人教A版（2019） 选修三 第六章 计数原理

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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