河南省豫西名校2020-2021学年高二上学期理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2021-09-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若命题 $P$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 \leq 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 > 0$ B、 $\exists x_{0} \notin R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 2 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 2 > 0$

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2. 已知 $a$ ， $b$ 为非零实数，且 $a > b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $| a | < | b |$ D、 $2^{a} > 2^{b}$

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3. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 则“ $a + b = 1$ ”是“ $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件条件

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4. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{11 - m} + \frac{y^{2}}{m - 3} = 1$ ，长轴在 $y$ 轴上，若焦距为4，则 $m$ 等于（）

A、5 B、6 C、9 D、10

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5. 为了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心检测人员对外来入市人员进行核酸检测，人员甲、乙均被检测.设命题 $p$ 为“甲核酸检测结果为阴性”，命题 $q$ 为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为（）

A、 $p \lor q$ B、 $p \land q$ C、 $p \land (\neg q)$ D、 $(\neg p) \lor (\neg q)$

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6. 直线 $y = k x - k$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的位置关系为（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、不确定

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7. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{cases} x + y \geq 0 ， \\ 2 x - y \geq 0 ， \\ x \leq 1 ， \end{cases}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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8. 如图，地面四个5G中继站A．B．C．D，已知A．B两个中继站的距离为 $\sqrt{10} km$ ， $∠ A D B = ∠ C D B =$ $30 °$ ， $∠ D C A = 45 °$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，则C，D两个中继站的距离是（）

A、 $2 \sqrt{3} km$ B、 $2 \sqrt{2} km$ C、 $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) km$ D、 $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) km$

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9. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点A是椭圆短轴的一个顶点，且 $cos ∠ F_{1} A F_{2} = \frac{3}{4}$ ，则椭圆的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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10. 抛物线C：y²＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当 $\frac{| M A |}{| M F |}$ ＝ $\sqrt{2}$ 时，△AMF的面积为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、2 $\sqrt{2}$

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11. 已知双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线与抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线分别交于 $A$ ， $B$ 两点，若双曲线 $C$ 的离心率为2， $△ A O B$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $O$ 为坐标原点，则抛物线 $C_{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\sqrt{2} ， 0)$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 0)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 0)$

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12. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $O$ 是坐标原点，过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ .若 $| P F_{1} | = \sqrt{13} | P F_{2} |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

13. 设 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $x + 2 y = 1$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值．

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14. 若命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $m x_{0}^{2} + m x_{0} + 1 < 0$ ”是假命题，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，且离心率 $e = \frac{2}{3}$ ，点 $P$ 是椭圆上位于第二象限内的一点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 是腰长为4的等腰三角形，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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16. 已知抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $E$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且直线 $l$ 与圆 $x^{2} - p x + y^{2} - \frac{3}{4} p^{2} = 0$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点.若 $| A B | = 2 | C D |$ ，则直线 $l$ 的斜率为.

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三、解答题

17. 动点 $P$ 到两定点 $A (- a ， 0)$ ， $B (a ， 0)$ （ $a > 0$ ）距离之比为 $| P A | ： | P B | = 2 ： 1$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、点 $P$ 在什么位置时， $△ A B P$ 的面积最大？

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18. 已知 $a < 3$ ，设p： $x^{2} - (3 + a) x + 3 a < 0$ ，q： $x^{2} + 4 x - 5 > 0$ .

(1)、若p是 $\neg q$ 的必要不充分条件，求实数a的取值范围；

(2)、若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

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19. 已知直线l： $y = k x + 1$ 过抛物线E： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，且与E交于A，B两点.

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、以 $A B$ 为直径的圆与x轴交于C，D两点，若 $| C D | \geq 4$ ，求k的取值范围.

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20. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，点 $(a_{n} ， a_{n + 1})$ $(n \in N^{*})$ 在直线 $y = x + \frac{1}{2}$ 上.

(1)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(2)、令 $c_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n - 1}}$ ， $n \in N^{*}$ .证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < 2$ .

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴一个端点到右焦点F的距离为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过点F的直线l交椭圆于A､B两点，交y轴于P点，设 $\vec{P A} = λ_{1} \vec{A F}$ ， $\vec{P B} = λ_{2} \vec{B F}$ ，试判断 $λ_{1} + λ_{2}$ 是否为定值？请说明理由.

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22. 设F₁ ， F₂分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的左、右焦点，且椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过F₂的直线 $l_{1}$ 与椭圆交于A、B两点，且 $△ A B F_{1}$ 的周长为 $8 \sqrt{2}$ ，

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过F₂点且垂直于 $l_{1}$ 的直线 $l_{2}$ 与椭圆交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.

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