河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期理数第四次联考试卷

试卷更新日期：2021-09-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. “ $k > 3$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{3 - k} + \frac{y^{2}}{k - 1} = 1$ 表示双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若 $a > b > 0$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\log_{2} (a - b) > 0$ C、 $a^{\frac{1}{2}} > b^{\frac{1}{2}}$ D、 $3^{a} > 3^{b}$

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3. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点到双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $p =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 已知 $\vec{a} = (- 2, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、2 B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、-2

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} a_{11} = 4 a_{7}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，且 $b_{7} = a_{7}$ ，则 $b_{5} + b_{9} =$ （）

A、2 B、4 C、16 D、8

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6. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq 2 x ， \\ x + y \geq 1 ， \\ x \leq 1 \end{array}$ ，则 $\frac{y - 1}{x + 1}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ C、 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}] \cup [\frac{3}{2} ， + \infty)$

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7. 如图，要测量底部不能到达的某铁塔 $A B$ 的高度，在塔的同一侧选择 $C$ ， $D$ 两观测点，且在 $C$ ， $D$ 两点测得塔顶的仰角分别为 $45^{\circ}$ ， $30^{\circ}$ .在水平面上测得 $∠ B C D = 120^{\circ}$ ， $C$ ， $D$ 两地相距 $600 m$ ，则铁塔AB的高度是（）

A、 $120 \sqrt{2} m$ B、 $480 m$ C、 $240 \sqrt{2} m$ D、 $600 m$

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8. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 底面是等腰直角三角形， $A B ⊥ A C$ ， $B C = B B_{1}$ ，则直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 已知椭圆： $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上一点，且 $P F_{2} ⊥ x$ 轴，直线 $P F_{1}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $Q$ ，若 $| P F_{1} | = 4 | F_{1} Q |$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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10. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{9} = 9 a_{7}$ ，若存在两项 $a_{m}$ 、 $a_{n}$ ，使 $a_{m} a_{n} = 27 a_{1}^{2}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{16}{n}$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\frac{21}{5}$ C、 $\frac{5}{16}$ D、 $\frac{65}{4}$

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11. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{1}{2}$ ， $(a^{2} - 3 b^{2}) \cos C = \overset{⇀}{C A} \cdot \overset{⇀}{C B}$ ，则角 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ 或 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{π}{2}$

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12. 椭圆与双曲线共焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，它们的交点为 $P$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ .若椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{13 \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = \frac{1}{a_{n - 1}} + 1 (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ，若 $a_{4} = \frac{5}{3}$ ，则 $a_{1} =$ ．

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14. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $\sin A = 2 \sin C$ ，且三条边 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等比数列，则 $\cos A$ 的值为.

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15. 已知点 $P$ 为棱长等于 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内部一动点，且 $| \vec{P A} | = 2$ ，则 $\vec{P C_{1}} \cdot \vec{P D_{1}}$ 的值达到最小时， $\vec{P C_{1}}$ 与 $\vec{P D_{1}}$ 夹角大小为．

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16. 存在第一象限的点 $M (x_{0} ， y_{0})$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，使得过点 $M$ 且与椭圆在此点的切线 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ 垂直的直线经过点 $(\frac{c}{2} ， 0)$ ( $c$ 为椭圆半焦距)，则椭圆离心率的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知 $p ： \forall x \in R$ ， $a x^{2} - x + 3 > 0$ ， $q ： \exists x \in [1 ， 2]$ ， $a \cdot 2^{x} \geq 1$ .

(1)、若 $p$ 为真命题，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 为真命题，且 $p \land q$ 为假命题，求 $a$ 的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，且 $(2 c - b) \cos A - a \cos B = 0$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 3$ ， $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ，求a的值．

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19. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为 $400$ 万元，每生产 $x$ 台，另需投入成本 $p (x)$ （万元），当月产量不足70台时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ （万元）；当月产量不小于70台时， $p (x) = 101 x + \frac{6400}{x} - 2060$ （万元）.若每台机器售价 $100$ 万元，且该机器能全部卖完.

(1)、求月利润 $y$ （万元）关于月产量 $x$ （台）的函数关系式；

(2)、月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 8$ ，且满足 $S_{n} = \frac{2 (n - 1) a_{n}}{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求证数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{(2 n - 1) a_{n}}{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $S A = A B$ ，点 $M$ 是 $S D$ 的中点， $A N ⊥ S C$ ，且交 $S C$ 于点 $N$ .

(1)、求证： $S C ⊥$ 平面 $A M N$ ；

(2)、求二面角 $D - A C - M$ 的余弦值.

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且右焦点 $F (c ， 0) (c > 0)$ 到直线 $l ： x = - \frac{a^{2}}{c}$ 的距离为3.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线分别交直线 $l$ 和 $A B$ 于点 $P$ ， $C$ ，当 $∠ P A C$ 取得最小值时，求直线 $A B$ 的方程.

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