河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期理数12月质量检测试卷

试卷更新日期：2021-09-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设命题 $p$ ： $\forall x < 0$ ， $x^{3} < 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x < 0$ ， $x^{3} \geq 1$ B、 $\exists x_{0} < 0$ ， $x_{0}^{3} \geq 1$ C、 $\forall x \geq 0$ ， $x^{3} < 1$ D、 $\exists x_{0} \geq 0$ ， $x_{0}^{3} < 1$

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2. “ $x < 1$ ”是“ $\ln x < 0$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点 $(4 ， 1)$ 到其焦点的距离 $d =$ （）

A、4 B、5 C、7 D、8

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4. 已知变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} - 2 x + y \leq 4 ， \\ 4 x + 3 y \leq 12 ， \\ y \geq 1 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、1 C、 $- 2$ D、 $\frac{11}{2}$

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5. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} a_{2} a_{5} = a_{4}$ ，则（）

A、|a₂|=1 B、 $a_{1} a_{2} = 1$ C、|a₃|=1 D、 $a_{2} a_{3} = 1$

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6. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{3}{2} a^{2} \sin A$ ，且 $b + c = \frac{7}{2} a$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7. 设 $A ， B$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 是椭圆 $C$ 与圆 $M ： x^{2} + y^{2} = 10$ 的一个交点，则 $| | P A | - | P B | | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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8. 若曲线 $y = \sqrt{x + 3}$ 的一条切线经过点 $(5 ， 3)$ ，则此切线的斜率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ 或 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{4}$

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9. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $m = \frac{2 (a^{2} + b^{2}) + 4}{a + b}$ ，则 $m$ 的最小值为（）

A、8 B、10 C、4 D、6

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10. 根据以往经验，一超市中的某一商品每月的销售量 $y$ (单位：件)与销售价格 $x$ (单位：元/件)满足关系式 $y = \frac{60}{x - 20} + 2 {(x - 50)}^{2}$ ，其中 $20 < x < 50$ .已知该商品的成本为20元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最大值为（）

A、8600元 B、8060元 C、6870元 D、4060元

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11. 设双曲线M： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} =$ 1（a＞0，b＞0）的上顶点为A ，直线y $= \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 与M交于B ， C两点，过B ， C分别作AC ， AB的垂线交于点D若D到点（0，2 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ）的距离不超过8 $\sqrt{a^{2} + b^{2}} -$ 7a ，则M的离心率的取值范围是（）

A、[ $\sqrt{7} +$ 1，+∞） B、[ $\sqrt{7} -$ 1，+∞） C、（1， $\sqrt{7} +$ 1] D、（1， $\sqrt{7} -$ 1]

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12. 如图，椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，点 $P$ 、 $Q$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且 $P F_{1} // Q F_{2}$ ，则 $| P F_{1} | + | Q F_{2} |$ 的取值范围为（）.

A、 $[2 ， 4)$ B、 $[3 ， 4)$ C、 $[1 ， 4)$ D、 $(1.5 ， 4)$

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二、填空题

13. 从区间 $(- 2 ， 3)$ 内任选一个数 $m$ ，则方程 $m x^{2} + y^{2} = 1$ 表示的是双曲线的概率为．

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14. 若函数 $f (x) = (x^{2} - a x + 2) e^{x}$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是．

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15. 设函数 $f (x) = \frac{x}{3 x + 4} (x > 0)$ ，观察 $f_{1} (x) = f (x) = \frac{x}{3 x + 4}$ ， $f_{2} (x) = f (f_{1} (x)) = \frac{x}{15 x + 16}$ ， $f_{3} (x) = f (f_{2} (x)) = \frac{x}{63 x + 64}$ ， $f_{4} (x) = f (f_{3} (x)) = \frac{x}{255 x + 256}$ ，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当 $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ 时， $f_{n} (x) = f (f_{n - 1} (x)) =$ .

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16. 若 $x^{2} > \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 \sin A - \cos B = 2 \sin B \cos C$ ，且角 $B$ 为钝角.

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $b \sin A = 2 \sin B$ ， $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \frac{8}{5} b c$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $3 a_{1} + 2 a_{2} = 27$ ， $81 a_{2}^{2} = a_{3} a_{5}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \dots + \log_{3} a_{n}$ ， $C_{n} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形， $A D // B C$ ， $A D = 2 D C = 2 B C$ ，E是 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $C E //$ 平面 $B D A_{1}$ ．

(2)、已知 $A D = A A_{1} = 2$ ， $B D = \sqrt{2}$ ．在 $D D_{1}$ 上是否存在点F，使得平面 $B D A_{1}$ 与平面 $C E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{7 \sqrt{3}}{15}$ ？若存在，求出 $C F$ 的长；若不存在，请说明理由．

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为2的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点．
（Ⅰ）若直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的准线相交于点 $P$ ，且 $| P F | = 2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程；

（Ⅱ）若直线 $l$ 不过原点，且 $∠ A F B = 90 °$ ，求 $△ A B F$ 的周长．

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21. 已知函数 $f (x) = e x^{3} - a x^{2} (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时，若 $f (x) + e^{x} \geq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为4，且点 $P (\frac{3 \sqrt{5}}{5} ， 2)$ 在椭圆 $C$ 上，直线 $l$ 经过椭圆 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ ，与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且其斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ ， $O$ 为坐标原点， $F_{2}$ 为椭圆 $C$ 的右焦点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $\overset{⇀}{A Q} = \frac{1}{2} (\overset{⇀}{A O} + \overset{⇀}{A F_{2}})$ ，延长 $A Q ， B Q$ 分别与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，直线 $M N$ 的斜率为 $k$ ，求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值.

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