河南省南阳市2020-2021学年高二上学期理数12月月考试卷

试卷更新日期：2021-09-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题 $p ：$ 在平面直角坐标系中，对任意两条平行的直线，它们的倾斜角相等，则 $\neg p$ 为（）．

A、在平面直角坐标系中，对任意两条平行的直线，它们的倾斜角不相等 B、在平面直角坐标系中，对任意两条不平行的直线，它们的倾斜角不相等 C、在平面直角坐标系中，存在两条不平行的直线，使得它们的倾斜角不相等 D、在平面直角坐标系中，存在两条平行的直线，使得它们的倾斜角不相等

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的短轴长为（）．

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、3 D、6

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3. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， 1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 2 ， 1)$ ， $\vec{c} = (1 ， λ ， 7)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $λ =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 2 \leq 0 \\ x \geq 1 \\ x + y - 7 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最小值是（）．

A、7 B、5 C、10 D、12

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5. 不等式 $\frac{2}{x} - \frac{x}{2} < 0$ 解集是（）．

A、 ${x | x > - 2}$ B、 ${x | x < - 2$ 或 $0 < x < 2}$ C、 ${x | - 2 < x < 0$ 或 $x > 2}$ D、 ${x | x > 2}$

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6. 已知a ， b都是实数，则“ $\log_{2} \frac{1}{a} < \log_{2} \frac{1}{b}$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 在各项不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} + a_{6} = a_{5}^{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $b_{5} = \frac{1}{a_{5}}$ ，则 $\log_{2} (b_{1} b_{2} \dots b_{9}) =$ （）．

A、-3 B、-9 C、3 D、9

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8. 下列命题中，是真命题的是（）．

A、 $\forall x \in R$ ， $\sin x < 1$ B、 $\exists x \in N$ ， $2^{x} < 1$ C、“若 $a > 2$ ， $b > 2$ ，则 $a b > 4$ ”的逆否命题 D、函数 $f (x) = \frac{3^{x} + 2}{\sqrt{3^{x} + 1}}$ 的最小值为2

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $A = \frac{π}{4}$ ， $c \sin A = 4 \sin C$ ，若此三角形有两解，则 $b$ 的取值范围是（）．

A、 $(0 ， 2 \sqrt{2})$ B、 $(2 ， 2 \sqrt{2})$ C、 $(0 ， 4 \sqrt{2})$ D、 $(4 ， 4 \sqrt{2})$

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10. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A B = 2 B C = 2 P A = 4$ ，点 $D$ 为 $P C$ 的中点，则 $P B$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{105}}{35}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{3 \sqrt{7}}{14}$

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11. 设首项为1的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + n - 1$ ，
现有下面四个结论

①数列 ${S_{n} + n}$ 为等比数列；

②数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n - 1} - 1$ ；

③数列 ${a_{n} + 1}$ 为等比数列；

④数列 ${2 S_{n}}$ 的前n项和为 $2^{n + 2} - n^{2} - n - 4$ .

其中结论正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知 $Р$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是该椭圆的两个焦点，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ， $△ F_{1} P F_{2}$ 的内切圆半径为 $\frac{\sqrt{3} a}{12}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）．

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题

13. 已知原命题为“若 $\sin x \neq 1$ ，则 $x \neq \frac{π}{2}$ ”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是．

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14. 若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 为空间中两两夹角为 $\frac{π}{3}$ 的单位向量， $\vec{A B} = 2 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = \vec{b} - \vec{c}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C D} =$ .

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 3)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过 $F_{1} (- 3 ， 0)$ 作倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ 的直线与 $C$ 在 $x$ 轴上方交于点 $Q$ ，则 $| F_{1} Q | =$ ．

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的每个顶点都在球 $О$ 的球面上， $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 两两互相垂直，且 $2 P B = P A = P C$ ，若球 $О$ 的表面积为 $36 π$ ，则球心 $О$ 到平面 $A B C$ 的距离为.

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三、解答题

17. 已知 $m$ 为正数， $p ：$ 不等式 $x^{2} > m - 3$ 对 $x \in R$ 恒成立； $q ：$ 函数 $f (x) = x^{2} + \frac{m}{x^{2}} (x > 0)$ 的最小值不小于2．

(1)、若 $q$ 为真命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p \land q$ 为假命题， $p \lor q$ 为真命题，求 $m$ 的取值范围．

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18. 如图，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 2 \sqrt{2} ， 0)$ ， $F_{2} (2 \sqrt{2} ， 0)$ ，直线 $l$ 经过 $F_{1}$ 与桶圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $△ A B F_{2}$ 的周长为12．

(1)、求椭圆 $C$ 的离心率．

(2)、若 $M$ ， $N$ 分别为椭圆的左、右顶点，记直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{A M}$ ， $k_{A N}$ ，证明： $k_{A M} \cdot k_{A N}$ 是定值．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{\sin A}{\sin C \sin B}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆的周长；

(2)、若 $2 b \cos B = a \cos C + c \cos A$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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20. 设正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n + 1} = S_{n} + 2 \sqrt{S_{n}} + 1$ .

(1)、证明：数列 ${\sqrt{S_{n}}}$ 是等差数列并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = \frac{1}{4 S_{n} - 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq λ (\frac{4}{T_{n}} + \sqrt{S_{n}} - \frac{4}{\sqrt{S_{n}}})$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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21. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 $A - B C D E$ 中， $A E ⊥ A D$ ， $A E ： E B ： B C = 1 ： 2 ： 2$ ， $∠ A E D = ∠ C D E$ ， $A C = D C$ ，点 $О$ 为 $D E$ 的中点.

(1)、证明： $C O ⊥$ 平面 $A D E$ .

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $A O C$ 所成锐二面角的余弦值.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 4$ ，且 $a = \sqrt{2} b$ ．

(1)、求 $C$ 的方程．

(2)、若 $A$ ， $B$ 为 $C$ 上的两个动点，过 $F_{2}$ 且垂直 $x$ 轴的直线平分 $∠ A F_{2} B$ ，证明：直线 $A B$ 过定点．

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