河南省名校联盟2020-2021学年高二上学期理数12月联合考试试卷

试卷更新日期：2021-09-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $q ： \exists x \in [1 ， 3]$ ， $2 x^{2} - 3 x < 1$ ，则 $\neg q$ 为（）

A、 $\forall x \notin [1 ， 3]$ ， $2 x^{2} - 3 x \geq 1$ B、 $\exists x \notin [1 ， 3]$ ， $2 x^{2} - 3 x \geq 1$ C、 $\forall x \in [1 ， 3]$ ， $2 x^{2} - 3 x \geq 1$ D、 $\exists x \in [1 ， 3]$ ， $2 x^{2} - 3 x \geq 1$

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2. 已知 $a > b > c ，$ 则（）

A、 $a b > a c$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $a + b > a + c$ D、 $a - b > b - c$

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3. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $a = \sqrt{2} b$ ， $\sin A = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{34}}{6}$

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4. “ $x \in Z$ ”是“ $x \in Q$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{5} = 10$ ， $a_{3} + a_{6} = 14$ ，则 $a_{5} + a_{8} =$ （）

A、12 B、22 C、24 D、34

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6. 已知方程 $\frac{x^{2}}{3 + m} + \frac{y^{2}}{m - 5} = 1$ 表示双曲线，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， + \infty)$ B、 $(5 ， + \infty)$ C、 $(- 3 ， 5)$ D、 $(- \infty ， - 3) \cup (5 ， + \infty)$

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7. 与椭圆 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 有相同焦点的曲线方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{14} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{14} - \frac{y^{2}}{10} = 1$ D、 $x^{2} - 3 y^{2} = 3$

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8. 已知 $A$ 地与 $C$ 地的距离是4千米， $B$ 地与 $C$ 地的距离是3千米， $A$ 地在 $C$ 地的西北方向， $B$ 地在 $C$ 地的西偏南 $15 °$ 方向上，则 $A$ ， $B$ 两地之间的距离是（）

A、 $\sqrt{13}$ 千米 B、13千米 C、 $\sqrt{37}$ 千米 D、37千米

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9. 下列结论正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，“ $A$ 是钝角”是“ $△ A B C$ 是钝角三角形”的必要不充分条件 B、“ $\exists a > 0$ ，关于 $x$ 的方程 $x^{2} + x + a = 0$ 有两个不相等的实数根”是真命题 C、“菱形的对角线相等且互相垂直”是真命题 D、若 $p$ 是真命题，则 $\neg q$ 可能是真命题

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F ， P$ 为该抛物线上的一动点， $A (6 ， 3)$ 为平面上的一定点，则 $| P A | + | P F |$ 的最小值为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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11. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 共有32项，其公比 $q = 3$ ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 ${a_{n}}$ 的所有项之和是（）

A、30 B、60 C、90 D、120

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12. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 为双曲线右支上异于顶点的任意一点， $Δ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的圆心为 $I$ ，现有下列结论：
① $Δ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的圆心必在直线 $x = a$ 上；

② $Δ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的圆心必在直线 $x = b$ 上；

③双曲线 $C$ 的离心率等于 $\frac{S_{Δ I F_{1} F_{2}}}{S_{Δ P I F_{1}} - S_{Δ P I F_{2}}}$

④双曲线 $C$ 的离心率等于 $\frac{S_{Δ I F_{1} F_{2}}}{S_{Δ P I F_{1}} + S_{Δ P I F_{2}}}$

其中所有正确结论的序号为（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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二、填空题

13. 已知 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 5 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + 3 y$ 的最大值是.

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14. 设正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3$ ，且 $S_{2020} = 2 a_{2020} - 3$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q =$ .

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15. 已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $m + n = t$ （ $t$ 为常数）.若 $\frac{3}{m + 1} + \frac{3}{n + 1}$ 的最小值为2，则 $t =$ .

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16. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点作两条垂直的弦 $A B ， C D$ ，则 $\frac{| A B |}{3} - \frac{12}{| C D |}$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{5} = - 7$ ， $S_{5} = - 55$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最小值及对应的 $n$ 值.

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18.

(1)、求经过点 $P (- \sqrt{6} ， \frac{\sqrt{2}}{2}) ， Q (2 ， 1)$ 且焦点在坐标轴上的椭圆的标准方程﹔

(2)、求与双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 有公共的渐近线，且过点 $(\sqrt{2} ， \sqrt{2})$ 的双曲线的标准方程.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $a \sin B = b (\cos A + 1)$ .

(1)、证明： $△ A B C$ 是直角三角形.

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 的中点，且 $A D = 6$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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20. 某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f(x)万元， $f (x) =$ ${\begin{array}{l} 5 x^{2} + 50 x + 500, 0 < x < 40, 100 x \in N, \\ 301 x + \frac{2500}{x} - 3000, x \geq 40, 100 x \in N . \end{array}$ 假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.

(1)、求利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；

(2)、当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.

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21. 已知曲线 $C$ 上每一点到直线 $l$ ： $x = - \frac{3}{2}$ 的距离比它到点 $F (\frac{1}{2} ， 0)$ 的距离大1．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若曲线 $C$ 上存在不同的两点 $P$ 和 $Q$ 关于直线 $l$ ： $x - y - 2 = 0$ 对称，求线段 $P Q$ 中点的坐标．

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22. 设圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 15 = 0$ 的圆心为 $A ，$ ，直线 $l$ 过点 $B (1 ， 0)$ 且与 $x$ 轴不重合， $l$ 交圆 $A ，$ 于 $C ， D$ 两点，过 $B$ 作 $A C$ 的平行线交 $A D$ 于点 $E$ .

(1)、证明 $| E A | + | E B |$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程.

(2)、直线 $l$ 过点 $A ，$ 且与点 $E$ 的轨迹交于 $M ， N$ 两点， $△ M O N$ 的面积是否存在最大值?若存在，求出面积 $△ M O N$ 的最大值；若不存在，说明理由.

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