浙江省舟山市定海区2021年数学中考模拟试卷

试卷更新日期：2021-09-16 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在 $\sqrt{2}$ 、 $π$ 、0、-2这四个数中，最小的数是（）.

A、 $\sqrt{2}$ B、 $π$ C、0 D、-2

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2. 2020年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至2021年3月25日，累计确诊人数超过125000000人，抗击疫情成为全人类共同的战役，要继续做好疫情防控将“125000000”科学记数法可表示为（）.

A、 $12.5 \times 10^{6}$ B、 $1.25 \times 10^{6}$ C、 $1.25 \times 10^{8}$ D、 $12.5 \times 10^{7}$

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3. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（）.

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $m^{5} \div m^{3} = m^{2}$ C、 ${(x^{2})}^{4} = x^{6}$ D、 $b^{5} \times b = b^{5}$

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5. 某学校组织学生进行社会主义核心价值观的知识竞赛，进入决赛的共有20名学生，他们的决赛成绩如表所示，那么20名学生决赛成绩的众数和中位数分别是（）.

决赛成绩/分

95

90

85

80

人数

4

6

8

2

A、85，90 B、85， $87.5$ C、90，85 D、95，90

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6. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，已知∠ADC＝140°，则∠AOC 的大小是（）

A、80° B、70° C、60° D、40°

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7. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺?如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）

A、 ${\begin{cases} y = x + 4.5 \\ 0.5 y = x - 1 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} y = x + 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} y = x - 4.5 \\ 0.5 y = x + 1 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} y = x - 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{cases}$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 2 ∠ C$ ，以点 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径作弧，交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $G$ ；再分别以点 $B$ 和点 $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半轻作弧，两弧相交于点 $E$ ，作射线 $A E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，若以点 $G$ 为圆心， $G C$ 长为半径作两段弧，一段弧过点 $C$ ，而另一段弧恰好经过点 $D$ ，则此时 $∠ C$ 度数为（）.

A、20° B、30° C、36° D、40°

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9. 如图，六边形 $A B C D E F$ 是正六边形，点 $P$ 是边 $A F$ 的中点， $P C$ ， $P D$ 分别与 $B E$ 交于点 $M$ ， $N$ ，则 $S_{△ P B M} ： S_{△ P C D}$ 的值为（）.

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{8}$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ （ $a$ 、 $b$ 是常数， $a \neq 0$ ）的图象经过点 $(2 ， 1)$ 和 $(4 ， - 2)$ ，且当 $0 \leq x \leq m$ 时，函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的最小值为 $- 2$ ，最大值为1，则 $m$ 的取值范围是（）.

A、 $- 1 \leq m \leq 0$ B、 $2 \leq m < \frac{7}{2}$ C、 $2 \leq m \leq 4$ D、 $m \geq 2$

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二、填空题

11. 分解因式： $a^{2} - 9 =$ ．

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12. 使 $\sqrt{x - 2}$ 有意义的x的取值范围是．

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13. 分式方程 $\frac{x + 3}{2 x - 3} = \frac{2}{7}$ 的解为.

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14. 有三辆车按1、2、3编号，两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐1号车的概率是.

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15. 如图，点 $A$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的第一象限的分支上， $A B$ 垂直 $y$ 轴于点 $B$ ，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上， $O C = 2 A B$ ，点 $E$ 是线段 $A C$ 的中点，点 $D$ 为 $O B$ 上一点， $B D = 2 O D$ ，连结 $C D$ .若 $△ C D E$ 的面积为2，则 $k$ 的值为.

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16. 一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①②③这三块面积之比为 $1 ： 4 ： 41$ ，那么④⑤这两块面积之比是.

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三、解答题

17.

(1)、计算： $4 \cos 30 ° + 2021^{0} - \sqrt{12}$ .

(2)、化简： $a (3 + a) + (2 - a) (2 + a)$ .

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18. 已知：在四边形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B // C D$ .求证： $△ A B C$ ≌ $△ C D A$ .
小华证明过程如下框：

证明：∵ $A D // B C$ ，∴ $∠ 2 = ∠ 4$ ，

又∵ $A B // C D$ ，∴ $∠ 1 = ∠ 3$ ，

又∵ $A C = C A$ ，∴ $△ A B C$ ≌ $△ C D A$

小华的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程.

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19. 如图，点 $A$ 、 $B$ 是 $8 \times 6$ 网格中的两格点，仅用无刻度直尺按要求在网格中画出符合相应条件的图形.

(1)、在图1中画出一个以 $A B$ 为边的菱形.

(2)、在图2中画出以 $A B$ 为底边的所有等腰三角形.

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20. 在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分.某校组织课外小组在一个社区随机抽取部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，根据数据整理成如图所示的不完整统计表和统计图，已知

A

，

B

两组户数频数直方图的高度比为

1 ： 5

月信息消费额分组统计表

组别	消费额（元）
$A$	$10 \leq x < 100$
$B$	$100 \leq x < 200$
$C$	$200 \leq x < 300$
$D$	$300 \leq x < 400$
$E$	$x \geq 400$

请结合图表中相关数据解答下列问题：

(1)、

A

组有多少户？这次接受调查的共有多少户？

(2)、在扇形统计图中，“

C

”所对应的圆心角的度数是多少？

(3)、请你补全频数直方图.

(4)、根据样本数据，1000户住户月信息消费额不少于300元的户数是多少？

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21. 有一种升降台如图所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整升降台的高度.升降过程中保持台面 $D B$ 与地面 $A C$ 平行， $A B$ 和 $C D$ 是两根相同长度的活动支撑杆，点 $O$ 是它们的连接点， $O A = O C$ ， $h (c m)$ 表示升降台的高度.

(1)、如图1，若 $A B = C D = 120 c m$ ， $∠ A O C = 120 °$ ，求 $h$ 的值.

(2)、当这种升降台的高度为 $130 c m$ 时，两根支撑杆的夹角 $∠ A O C$ 是 $74 °$ （如图2）.求该升降台支撑杆 $A B$ 的长度（结果精确到 $1 c m$ ）.（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.6$ ， $\cos 37 ° \approx 0.8$ ， $\sin 53 ° \approx 0.8$ ， $\cos 53 ° \approx 0.6$ ）

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22. 已知：如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $∠ A = 60 °$ ， $⊙ O$ 与边 $A B$ 、 $A C$ 相切于点 $E$ 、 $F$ .求：

(1)、当 $⊙ O$ 的半径为2时，求弧 $E F$ 的长，

(2)、当 $⊙ O$ 与 $B C$ 边相切时，求 $⊙ O$ 的半径。

(3)、如图2，当 $⊙ O$ 的半径 $r$ 为 $2 \sqrt{3}$ 时， $⊙ O$ 与 $B C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $M N$ 的长，

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23. 某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行40场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第 $x$ 场产品的销售量为 $y$ （台），第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台.

(1)、第5场销售多少台产品？并求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式.

(2)、产品的每场销售单价 $P$ （万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价为10万元，第1场～第20场浮动价与销售场次 $x$ 成正比，第21场～第40场浮动价与销售场次 $x$ 成反比，经过统计，得到如表数据：

$x$ （场）

3

10

36

$P$ （万元）

$10.6$

12

13

①求 $P$ 与 $x$ 之间满足的函数关系式.

②当产品销售单价为 $13.6$ 万元时，求销售场次是第几场？

③在这40场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？

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24. 数学课上，老师拿出两块不同大小的含30度角的三角板让同学们在不同位置尝试操作.

(1)、如图1摆放，当点 $D$ 在 $A B$ 上，点 $E$ 在 $B C$ 上，得知 $A D = 7$ ， $D B = 1$ ，求 $C E$ 的长.

(2)、如图2，在（1）的条件下，连结 $C D$ ，求 $△ A C D$ 的面积.

(3)、如图3摆放，把这同样的两块三角板的直角顶点互相重合放置，小三角板 $M C N$ 绕着点 $C$ 旋转，连结 $A M$ 、 $B N$ ，当 $A M ⊥ C M$ 时，求 $\cos ∠ A B N$ 的值.

(4)、 $△ A C B$ 不变，当 $△ M C N$ 的三边长扩大一倍后，绕点 $C$ 旋转一周，直线 $A M$ 与 $B N$ 交于点 $H$ ，请你直接写出点 $H$ 所经过的运动路径.

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决赛成绩/分	95	90	85	80
人数	4	6	8	2

$x$ （场）	3	10	36
$P$ （万元）	$10.6$	12	13